《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

9. 两个相似三角形的最短边分别为$5\ cm$和$3\ cm$，它们的周长之差为$12\ cm$，则大三角形的周长为(D).

A.$14\ cm$
B.$16\ cm$
C.$18\ cm$
D.$30\ cm$

答案： 9.D

10. 如图 27.2 - 30，在矩形$ABCD$中，过点$D$作对角线$AC$的垂线，垂足为$E$，过点$E$作$BE$的垂线，交边$AD$于点$F$，如果$AB = 3$，$BC = 5$，那么$DF$的长是$\frac {9}{5}$.

答案： 10.$\frac {9}{5}$

11. 如图 27.2 - 31，在$□ ABCD$中，$E$是$CD$延长线上一点，$BE$与$AD$交于点$F$，$CD = 2DE$，$M$，$N$分别是$BF$，$EF$的中点. 若$\triangle DEF$的面积为$a$，则$AM:DN =$2:1，$□ ABCD$的面积为12a.(用含$a$的代数式表示)

答案： 11.2:1 12a

12. 如图 27.2 - 32，将$\triangle ABC$沿$BC$边上的中线$AD$平移到$\triangle A'B'C'$的位置. 已知$\triangle ABC$的面积为$16$，阴影部分三角形的面积$9$.若$AA' = 1$，则$A'D$的长度为3.

答案： 12.3

13. 如图 27.2 - 33，矩形$ABCD$的边$AD = 8$，将矩形$ABCD$折叠，使顶点$B$落在$CD$边上的$P$点处，折痕与边$BC$交于点$O$.
(1) 求证：$\triangle OCP \sim \triangle PDA$.
(2) 若$\triangle OCP$与$\triangle PDA$的面积之比为$1:4$，求边$AB$的长.

答案： 13.
(1)证明:由矩形可知∠D=∠C=∠B=90°,由折叠可知∠APO=∠B=90°,
∴∠DAP+∠DPA=∠DPA+∠CPO=90°.
∴∠DAP=∠CPO,
∴△OCP∽△PDA.
(2)解:设 AB 的长为 x,则 AP=AB=DC=x.
由△OCP 与△PDA 的面积之比为 1:4,可得 PC:AD=1:2.
∵AD=8,
∴PC=4,DP=x-4.
在 Rt△ADP 中,应用勾股定理可得$8^{2}+(x-4)^{2}=x^{2}$,解得 x=10.
∴边 AB 的长为 10.