《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

5. 综合与实践:生物生长规律的模型研究

如图 26.2-1(1),砗磲(chēqú)是地球上最大的双壳类动物,某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析,得到某砗磲样本年龄$x$(单位:岁)与平均日生长速率$y$(单位:$\mu m/$天)的数据如下表：

[模型构建1]如图 26.2-1(2),数学小组 A 在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点,根据点的分布情况,猜想其函数图象是过$(0,26.0)$的抛物线,设解析式为$y = ax^{2} + bx + 26$.
(1)选取两个点$(10,14.0),(20,7.0)$,求抛物线解析式,并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄.
[模型构建2]数学小组 B 观察表格中数据,发现后四组数据中$x$与$y$的乘积分别为$k_{1} = 140,k_{2} = 142.5,k_{3} = 140,k_{4} = 137.5$,猜想当$x \geq 10$时$y$与$x$符合反比例关系,设解析式为$y = \frac{k}{x}$.
(2)为减少偏差,取$k = \frac{k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{4}}{4}$,求反比例函数解析式.
[模型应用]研究发现,正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低.
(3)为求该砗磲样本 35 岁时的平均日生长速率,请从上述模型中选择其一,说明选择的理由并计算;
(4)该砗磲样本 35 岁时受厄尔尼诺现象(海表温度异常增暖的气候现象)影响,其实际平均日生长速率为$4.3 \mu m/$天,请说明该现象对砗磲平均日生长速率的影响.

答案： 5.
(1)将$(10,14.0)$，$(20,7.0)$代入$y = ax^2 + bx + 26$，
得$\begin{cases} 100a + 10b + 26 = 14.0, \\ 400a + 20b + 26 = 7.0, \end{cases}$
∴$\begin{cases} a = \frac{1}{40}, \\ b = -\frac{29}{20}, \end{cases}$
∴$y = \frac{1}{40}x^2 - \frac{29}{20}x + 26 = \frac{1}{40}(x - 29)^2 + \frac{199}{40}$。
答：该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为$29$岁；
(2)当$x \geq 10$，$k = \frac{140 + 142.5 + 140 + 137.5}{4} = 140$，
∴$y = \frac{140}{x}$；
(3)由模型1可知，当$x \geq 29$时，$y$随$x$的增大而增大，不符合砗磲的生长规律；
（或由模型2可知，当$x \geq 10$时，$y$随$x$的增大而减小，符合砗磲的生长规律）
∴选择模型2。
当$x = 35$时，$y = \frac{140}{35} = 4$，
答：该砗磲样本$35$岁时的平均日生长速率为$4\mu m$/天；
(4)因为$4 ＜ 4.3$，由此可推测厄尔尼诺现象会增大砗磲的平均日生长速率。