《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

8. 如图27.3-7，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，$\triangle ABC$的顶点均为格点(网格线的交点).

(1)将$\triangle ABC$向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，画出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；
(2)以点$B_{1}$为位似中心，将$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$放大至原来的3倍，得到$\triangle A_{2}B_{1}C_{2}$，请在网格内画出$\triangle A_{2}B_{1}C_{2}$；
(3)直接写出$\triangle ABC$的面积与四边形$A_{1}C_{1}C{A}_{2}$的面积之比为1:8.

答案：
8.解:
(1)如图,△$A_1B_1C_1$即为所求.
(2)如图,△$A_2B_1C_2$即为所求.

(3)由题意得,$S_{△A_1B_1C_1} = S_{△ABC}$,
$S_{△A_2B_1C_2}:S_{△ABC} = 9:1$.
∴$S_{△ABC}:S_{四边形A_1C_1C_2A_2} = S_{△ABC}:(S_{△A_2B_1C_2} - S_{△A_1B_1C_1}) = 1:8$.

9. 如图27.3-8，由位似的正$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，正$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$，正$\triangle A_{3}B_{3}C_{3}$，……正$\triangle A_{n}B_{n}C_{n}$组成的相似图形，其中第一个$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的边长为1，点$O$是$B_{1}C_{1}$中点，$A_{2}$是$OA_{1}$的中点，$A_{3}$是$OA_{2}$的中点……$A_{n}$是$OA_{n-1}$的中点，顶点$B_{2}$，$B_{3}$，……，$B_{n}$，$C_{2}$，$C_{3}$，……，$C_{n}$都在$B_{1}C_{1}$边上.
(1)试写出$\triangle A_{10}B_{10}C_{10}$和$\triangle A_{7}B_{7}C_{7}$的相似比和位似中心；
(2)求出第$n$个三角形$\triangle A_{n}B_{n}C_{n}(n\geqslant 2)$的周长.

答案： 9.解:
(1)
∵△$A_1B_1C_1$的边长为1,点O是$B_1C_1$中点,$A_2$是$OA_1$的中点,
∴正△$A_2B_2C_2$的边长为$\frac{1}{2}$,正△$A_3B_3C_3$的边长为$(\frac{1}{2})^2$,
正△$A_{10}B_{10}C_{10}$的边长为$(\frac{1}{2})^9$,正△$A_7B_7C_7$的边长为$(\frac{1}{2})^6$.
∴正△$A_{10}B_{10}C_{10}$和正△$A_7B_7C_7$的相似比=$\frac{(\frac{1}{2})^9}{(\frac{1}{2})^6} = \frac{1}{8}$;它们的位似中心为点O;
(2)
∵第n个三角形△$A_nB_nC_n(n \geq 2)$的边长为$(\frac{1}{2})^{n - 1}$,
∴第n个三角形△$A_nB_nC_n(n \geq 2)$的周长为$\frac{3}{2^{n - 1}}$.