《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

6. 如图 24.3 - 7，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段的外端点，可以得到一个新的正六边形……重复上述过程，经过$2024$次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的(C).

A.$(\sqrt{3})^{2022}$倍
B.$(\sqrt{3})^{2023}$倍
C.$(\sqrt{3})^{2024}$倍
D.$(\sqrt{3})^{2025}$倍

答案： 6.C

7. 尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中.传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣(如图 24.3 - 8 所示)：①将半径为$r$的$\odot O$六等分，依次得到$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$六个分点；②分别以点$A$，$D$为圆心，$AC$长为半径画弧，$G$是两弧的一个交点；③连接$OG$.问：$OG$的长是多少？大臣给出的正确答案是(D).

A.$\sqrt{3}r$
B.$(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})r$
C.$(1 + \frac{\sqrt{3}}{2})r$
D.$\sqrt{2}r$

答案： 7.D

8. 如图 24.3 - 9，正六边形的边长为$2\ cm$，点$P$为这个正六边形内部的一个动点，则点$P$到这个正六边形各边的距离之和为$6\sqrt{3}$$ cm$.

答案： $8.6\sqrt{3}$

9. 如图 24.3 - 10，$M$，$N$分别是$\odot O$的内接正三角形$ABC$，正方形$ABCD$，正五边形$ABCDE$，……，正$n$边形$ABCDEF·s$的边$AB$，$BC$上的点，且$BM = CN$，连接$OM$，$ON$.

(1)求图 24.3 - 10(1)中$\angle MON$的度数；
(2)图 24.3 - 10(2)中$\angle MON$的度数是90°，图 24.3 - 10(3)中$\angle MON$的度数是72°；
(3)试探究$\angle MON$的度数与正$n$边形边数$n$的关系.(直接写出答案)

答案： 9.
(1)解：连接OA，OB，图略.
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴AB=BC，∠OAM=∠OBN=30°，∠AOB=120°.
∵BM=CN，
∴AM=BN.
∴△AOM≌△BON(SAS).
∴∠AOM=∠BON.
∴∠AOM+∠BOM=∠BON+∠BOM.
∴∠AOB=∠MON=120°.
$(2)90° 72° (3)∠MON=\frac{360°}{n}$