《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

1. 一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是一条抛物线，而反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线.

答案： 直线、抛物线是两类常见的函数图象，反比例函数的图象是双曲线。

2. 在图26.1-1所给的坐标系内分别画出反比例函数$y = \frac{1}{x}$和$y = - \frac{1}{x}$的图象.
(1)①列表：

②描点：在坐标系内分别描出$y = \frac{1}{x}$和$y = - \frac{1}{x}$的图象上的点.

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，分别得到两个函数$y = \frac{1}{x}$和$y = - \frac{1}{x}$的图象.
(2)归纳：①$y = \frac{1}{x}$的图象位于哪些象限？图象有何特点？原因是什么？函数的增减性如何？
②对于$y = - \frac{1}{x}$，回答上面同样的问题.

答案：
（1）
（2）①
- 图象所在象限：$y = \frac{1}{x}$的图象位于第一、三象限。
- 图象特点：图象是双曲线，关于原点对称。
- 原因：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\neq0$），当$k = 1＞0$时，根据反比例函数性质，图象在一、三象限；又因为$f(-x)=\frac{1}{-x}=-f(x)$，所以图象关于原点对称。
- 函数增减性：在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
②
- 图象所在象限：$y = -\frac{1}{x}$的图象位于第二、四象限。
- 图象特点：图象是双曲线，关于原点对称。
- 原因：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\neq0$），当$k=- 1＜0$时，根据反比例函数性质，图象在二、四象限；又因为$f(-x)=-\frac{1}{-x}=f(x)$，所以图象关于原点对称。
- 函数增减性：在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。

3. 根据反比例函数表达式$y = - \frac{2}{x}$，想象它的图象具有的特征，并回答下列问题：
(1)$x$，$y$所取值的符号有什么关系？这个函数的图象会在哪几个象限？
(2)这个函数的图象与$x$轴、$y$轴有交点吗？为什么？
(3)当$x＞0$时，随着$x$的增大，$y$怎样变化？当$x＜0$时，随着$x$的增大，$y$怎样变化？

答案： 解:
(1)根据函数表达式$y = -\frac{2}{x}$，
$\because k＜0$，$\therefore x$、$y$ 所取值的符号相反，图象在二、四象限。
答:$x$、$y$ 所取值的符号相反，图象在二、四象限。
(2)根据函数表达式$y = -\frac{2}{x}$是反比例函数，
$\because x\neq0$，$y\neq0$，$\therefore$图象与 $x$ 轴、$y$ 轴都没有交点。
答:图象与 $x$ 轴、$y$ 轴都没有交点。
(3)由
(1)可知函数图象在二、四象限，
$\therefore$当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
答:当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。