《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

4. 如图3，扇形纸片 $AOB$ 的半径为 $3$，沿 $AB$ 折叠扇形纸片，点 $O$ 恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点 $C$ 处，求图中阴影部分的面积.

答案： 4. 阴影部分的面积为$3\pi - \frac{9\sqrt{3}}{2}$.

5. 如图4，已知$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$CO$的延长线交 $AB$ 于点 $D$，交$\odot O$于点 $E$，交$\odot O$的切线 $AF$ 于点 $F$，且 $AF // BC$. 求证：
(1) $AO // BE$;
(2) $AO$ 平分$\angle BAC$.

答案： 5. 证明：
(1)
∵AF是⊙O的切线,
∴AF⊥OA,即∠OAF = 90°，
∵CE是⊙O的直径,
∴∠CBE = 90°,
∴∠OAF = ∠CBE，
∵AF//BC,
∴∠BAF = ∠ABC,
∴∠OAF - ∠BAF = ∠CBE - ∠ABC，
即∠OAB = ∠ABE,
∴AO//BE.
(2)
∵∠ABE与∠ACE都是$\overset{\frown}{EA}$所对的圆周角,
∴∠ABE = ∠ACE，
∵OA = OC,
∴∠ACE = ∠OAC,
∴∠ABE = ∠OAC，
由
(1)知,∠OAB = ∠ABE,
∴∠OAB = ∠OAC,
∴AO平分∠BAC.