《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

9. 如图 22.3 - 8(1)中，矩形 $ MNKL $ 是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段 $ AB $ 组成的封闭图形，点 $ A $，$ B $ 在矩形的边 $ MN $ 上。现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案。
方案设计：如图 22.3 - 8(2)，$ AB = 6 $ 米，$ AB $ 的垂直平分线与抛物线交于点 $ P $，与 $ AB $ 交于点 $ O $，点 $ P $ 是抛物线的顶点，且 $ PO = 9 $ 米。欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段 $ OP $ 上确定点 $ C $，使 $ \angle ACB = 90^{\circ} $，用篱笆沿线段 $ AC $，$ BC $ 分隔出 $ \triangle ABC $ 区域，种植串串红。
第二步：在线段 $ CP $ 上取点 $ F $(不与 $ C $，$ P $ 重合)，过点 $ F $ 作 $ AB $ 的平行线，交抛物线于点 $ D $，$ E $。用篱笆沿 $ DE $，$ CF $ 将线段 $ AC $，$ BC $ 与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季。
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步 $ \triangle ABC $ 区域的分隔后，发现仅剩 $ 6 $ 米篱笆材料。若要在第二步分隔中恰好用完 $ 6 $ 米材料，需确定 $ DE $ 与 $ CF $ 的长。为此，欣欣在图 22.3 - 8(2)中以 $ AB $ 所在直线为 $ x $ 轴，$ OP $ 所在直线为 $ y $ 轴建立平面直角坐标系。请按照她的方法解决问题：
(1)在图 22.3 - 8(2)中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
(2)求 $ 6 $ 米材料恰好用完时 $ DE $ 与 $ CF $ 的长；
(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形。她尝试借助图 22.3 - 8(2)设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段 $ AC $，$ BC $ 上。直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值。

答案：
9.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，如图
(1).
∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB=6，
∴OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3.
∴点B的坐标为(3,0)，
∵OP=9,
∴点P的坐标为(0,9)，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为y=ax²+9,
∵点B(3,0)在抛物线y=ax²+9上,
∴9a+9=0,解得:a=−1.
∴抛物线的函数表达式为y=−x²+9(−3≤x≤3);
(2)
∵点D,E在抛物线y=−x²+9上,
∴设点E的坐标为(m,−m²+9),
∵DE//AB,交y轴于点F，
∴DF=EF=m,OF=−m²+9,
∴DE=2m.
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,OA=OB,
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3.
∴CF=OF−OC=−m²+9−3=−m²+6, 根据题意,得DE+CF=6,
∴−m²+6+2m=6, 解得m₁=2,m₂=0(不符合题意，舍去),
∴m=2.
∴DE=2m=4,CF=−m²+6=−2²+6=2 答:DE的长为4米,CF的长为2米.
(3)$\frac{33}{2}$米.