《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

7. 2023年10月28日，全国和美乡村篮球大赛——“村BA”总决赛在贵州省
台江县台盘村落下帷幕，广东中山沙溪队取得首届全国“村BA”大赛总冠军.某县
“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛$15$场.设
参加比赛的球队有$x$支，根据题意，下面列出的方程正确的是(D).

A.$x(x + 1)=15$
B.$x(x - 1)=15$
C.$\frac{1}{2}x(x + 1)=15$
D.$\frac{1}{2}x(x - 1)=15$

答案： 7.D

8. 某“红色粮仓”示范区的“智慧农场”让生产更高效，提升了小麦亩产量，小
麦亩产量从2022年的$670$千克增长到了2024年的$780$千克，该村小麦亩产量年
平均增长率为$x$，则可列方程为(B).

A.$670(1 + 2x)=780$
B.$670(1 + x)^{2}=780$
C.$670(1 + x^{2})=780$
D.$670(1 + x)=780$

答案： 8.B

9. 已知关于$x$的一元二次方程$(a - 1)x^{2}-2x + a^{2}-1 = 0$有一个根为$x = 0$，
则$a =$$-1$.

答案： 9.-1

10. 已知一个一元二次方程有一个根为$2$，二次项系数为$-3$，则这个方程可以
是$-3x^{2}=-12(答案不唯一)$.(只需写出一个方程)

答案： 10.$-3x^{2}=-12(答案不唯一)$

11. 阅读下面材料，并解决相关问题：
图21.1 - 1是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中
第一行有$1$个点，第二行有$2$个点…第$n$行有$n$个点…

容易发现，三角点阵中前$4$行的点数之和为$10$.
探索：三角点阵中前$8$行的点数之和为$36$，前$15$行
的点数之和为$120$，那么，前$n$行的点数之和为$\frac{1}{2}n(n+1)$.

答案： 11.$36$ $120$ $\frac{1}{2}n(n+1)$

12. 《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的
基本框架.《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户
高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多$6$尺$8$寸，它的对角线
长$1$丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门宽为$x$尺，则依题意所
列方程为($1$丈$= 10$尺，$1$尺$= 10$寸$($A$)$.

A.$x^{2}+(x + 6.8)^{2}=10^{2}$
B.$x^{2}+(x - 6.8)^{2}=10^{2}$
C.$x(x + 6.8)=10^{2}$
D.$x(x - 6.8)=10^{2}$

答案： 12.A

13. 若$a$是方程$x^{2}-2020x + 1 = 0$的一个根，求$a^{2}-2021a+\frac{a^{2}+1}{2020}$的值.

答案： 13.解：由题意，得$a^{2}-2020a+1=0$，
$\therefore a^{2}-2020a=-1,a^{2}+1=2020a$，
$\therefore a^{2}-2021a+\frac{a^{2}+1}{2020}=a^{2}-2020a-a+\frac{2020a}{2020}=-1-a+a=-1$．