《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

1. 用纸剪一个圆，沿圆的任一条直径对折，重复多做几次，你发现的结论是_______.

答案： 将用纸剪的圆沿任一条直径对折后，发现圆的两部分能够完全重合。
由此可得结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

2. 如图 24.1-7，(1)若$MN \bot AB$，$MN$为直径，则_______，_______，_______.
(2)若$AC = BC$，$MN$为直径，则_______，_______，_______.
(3)若$MN \bot AB$，$AC = BC$，则_______，_______，_______.
(4)若$\overset{\frown}{AM} = \overset{\frown}{BM}$，$MN$为直径，则_______，_______，_______.

通过以上推导，你发现了什么规律?

答案：
(1) $MN$ 是直径， $MN \perp AB$，
根据垂径定理：
$C$ 为 $AB$ 中点，
$MN$ 平分 $\overset{\frown}{AB}$，且 $\overset{\frown}{AM} = \overset{\frown}{BM}$。
(2) $AC = BC$，即：
$C$ 为 $AB$ 中点，
$MN$ 为直径，
根据垂径定理推论：
$MN \perp AB$，
$MN$ 平分 $\overset{\frown}{AB}$， $\overset{\frown}{AM} = \overset{\frown}{BM}$。
(3) $MN \perp AB$， $AC = BC$，
即：
$C$ 为 $AB$ 中点，
根据垂径定理推论：
$MN$ 为直径，
$MN$ 平分 $\overset{\frown}{AB}$， $\overset{\frown}{AM} = \overset{\frown}{BM}$。
(4) $\overset{\frown}{AM} = \overset{\frown}{BM}$， $MN$ 为直径，
根据垂径定理推论：
$MN \perp AB$，
$C$ 为 $AB$ 中点，
$MN$ 平分 $\overset{\frown}{AB}$。
规律发现：
对于圆中一条弦（如 $AB$），当满足以下任一条件时，其他两个条件也同时成立：
直线（如 $MN$）为直径，
直线垂直于弦，
直线平分弦，
直线平分弦所对的弧。

3. 在$\odot O$中，直径$AB = 15$，弦$DE \bot AB$于点$C$.若$OC:OB = 3:5$，则$DE$的长为(C).

A.6
B.9
C.12
D.15

答案： 3.C

4. 如图 24.1-8，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心$O$，则折痕$AB$的长为$2\sqrt{3}$cm.

答案： 4.2$\sqrt{3}$cm

5. 一块圆形宣传标志牌如图 24.1-9所示，点$A$，$B$，$C$在$\odot O$上，$CD$垂直平分$AB$于点$D$，现测得AB = 8dm，DC = 2dm，则圆形标志牌的半径为5dm.

答案： 5.5dm

6. 如图 24.1-10，$\odot O$的直径$AB$垂直于弦$CD$，垂足是$E$，$\angle A = 22.5°$，$OC = 4$，则$CD$的长为$4\sqrt{2}$.

答案： 6.4$\sqrt{2}$