《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

5.有一边长为 3 的等腰三角形，它的另两条边长分别是关于$x$的方程$x^2 - 12x + k = 0$的两个根，求$k$的值.

答案： 5.若等腰三角形的腰长为3，则3即为方程$x^2 - 12x + k = 0$的一个根，所以$k = 27$，此时方程另一根为9，因为$3 + 3 ＜ 9$，此时无法构成三角形，因此这种情形不存在；若3是等腰三角形的底边，则等腰三角形的两腰长为方程$x^2 - 12x + k = 0$的根，因此方程有两个相等根，此时$k = 36$，三角形三边长为6,6,3，符合题意.

6.在一次象棋比赛中，实行单循环赛制(即每个选手都与其他选手比赛一局)，每局赢者记 2 分，负者记 0 分，如果平局，两个选手各记 1 分.今有 4 个同学统计了比赛中全部选手的得分总和，结果分别为 2 005，2 004，2 070，2 008，经核实确定只有一位同学统计正确，试计算这次比赛中共有多少名选手参赛.

答案： 6.设共有$x$名选手参赛，则比赛场次为$\frac{x(x - 1)}{2}$，在一场比赛中，无论结果如何，两位选手的总分一定是2分，因此全部比赛的总分为$\frac{x(x - 1)}{2}×2 = x(x - 1)$，这是一个偶数，因此2 005不可能，在2 004，2 070，2 008中，只有$2 070 = 45×46$，其他两个不能分解为两个连续整数的积，因此参赛选手总共46人.