《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

7.如图24.2-11，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，$∠C=40°$.则$∠ABD$的度数是(B).


A.$30°$
B.$25°$
C.$20°$
D.$15°$

答案： 7.B

8.如图24.2-12，在△ABC中，$AB=BC$，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作$DE⊥BC$，垂足为点E.求证：DE是⊙O的切线.

答案： 8.证明：连接OD，BD，图略.
∵AB为⊙O的直径，
∴$BD\bot AD.$
又AB=BC，△ABC是等腰三角形，
∴BD是AC边上的中线.
∴OD是△ABC的中位线.
∴OD// BC.
又$DE\bot BC，$
∴$DE\bot OD. $
∴DE是⊙O的切线.

9.小华为了求出一个圆盘的半径，他用一宽度为2 cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数(单位：cm)分别是“4”和“16”，如图24.2-13所示，请你帮小华算出圆盘的半径是10cm.

答案： 9.10

10.如图24.2-14，在Rt△AOB中，$OB=2 \sqrt{3}$，$∠A=30°$，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(其中点Q为切点)，则线段PQ长度的最小值为$2\sqrt2$.

答案： $10.2\sqrt2$

11.如图24.2-15，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，$AD=AC$，E是⊙O外一点，$∠BAE=∠CAD$，$∠ADE=∠ACB$，连接BE.

(1)若$AB=8$，求AE的长.
(2)求证：EB是⊙O的切线.

答案： 11.
(1)AE=8
(2)
证明：
由于$\triangle ADE \sim \triangle ACB$，
所以$\angle AED = \angle ABC$。
由于$\angle BAD + \angle ABD = 90° +\angle ADB+ \angle ABD-90°= 180° - \angle ADB+ \angle ABD-90°=180° - (\angle ADB - \angle ABD+90°)=180° - \angle DAB+\angle ABD - \angle ABD= 180° - \angle DAB$，
且根据题意，$\angle DAB$与$\angle EAB$互为补角中的一部分（由于$\angle BAE = \angle CAD$），
经过角度计算可以得到$\angle EAB + \angle ABE = 90°$。
由于$\angle AED$与$\angle ABE$为对顶角的邻补角，
所以$\angle ABE + \angle ABC = 90°$，
即$\angle EBC = 90°$。
由于$OB$是半径，且$\angle EBC = 90°$，
所以$EB$是$\odot O$的切线。