《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

8. 如图 28.1 - 9，在 $ 6 × 6 $ 的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是 1，点 $ A $，$ B $，$ C $ 均在格点上，$ \odot O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外接圆，则 $ \cos \angle BAC $ 的值为(B)。



A.$ \frac{\sqrt{5}}{5} $
B.$ \frac{2\sqrt{5}}{5} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $

答案： 8.B

9. 如图 28.1 - 10，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $，$ \angle A = 67.5^{\circ} $，则 $ \tan B $ 等于(D)。



A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{2} - 1}{2} $
C.$ \sqrt{2} + 1 $
D.$ \sqrt{2} - 1 $

答案： 9.D

10. 如图 28.1 - 11，已知点 $ E(0,4) $，$ O(0,0) $，$ C(5,0) $ 均在 $ \odot A $ 上，$ BE $ 是 $ \odot A $ 上的一条弦，则 $ \tan \angle OBE = $$\frac{4}{5}$。

答案： 10.$\frac{4}{5}$

11. 如图 28.1 - 12，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $，$ 3CD = BD $。若 $ \cos \angle ABC = \frac{2\sqrt{5}}{5} $，则 $ \angle BAD $ 的正弦值为$\frac{3}{5}$。

答案： 11.$\frac{3}{5}$

12. 如图 28.1 - 13，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，已知点 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 都在格点上，$ AB $，$ CD $ 相交于点 $ O $，则 $ \tan \angle AOD = $2。

答案： 12.2

13. 已知，如图 28.1 - 14，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle ABC = 90^{\circ} $，点 $ D $ 是 $ AC $ 的中点，$ \odot O $ 经过 $ B $，$ C $，$ D $ 三点，与 $ AB $ 交于另一点 $ E $。
(1)请你仔细观察图形，连接图中已表明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段 $ AE $ 相等；
(2)在图中，过点 $ E $ 作 $ \odot O $ 的切线，交 $ AD $ 于点 $ F $。若 $ AF = DF $，求 $ \sin A $ 的值。

答案： 13.
(1)证明:连接CE,DE.$\because \angle ABC=90^{\circ},\therefore CE$是$\odot O$的直径.$\therefore \angle CDE=90^{\circ}$.
又$AD=CD,\therefore AE=CE$.
(2)解:$\because AF = DF,AD = CD,\therefore FD=\frac{1}{3}FC.\therefore EF^{2}=\frac{1}{3}FC^{2}$.
$\therefore \frac{EF}{FC}=\frac{\sqrt{3}}{3}.\therefore \sin \angle ACE=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
又$EA = EC,\therefore \angle ACE=\angle A.\therefore \sin A=\frac{\sqrt{3}}{3}$.