《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

5. 在平面直角坐标系中，点$A$，$B$的坐标分别为$(0, 2)$和$(4, 0)$，若$y$轴上存在点$C$，使$\triangle ABC$和$\triangle OAB$相似而不全等，则点$C$的坐标是(0,-19).

答案： 5.(0,-19)

6. 如图 27.2 - 25，在$□ ABCD$中，$AD = 10\ cm$，$CD = 5\ cm$，$E$为$AD$上一点，且$BE = BC$，$CE = CD$，则$DE =$2.5$ cm$.

答案： 6.2.5

7. 如图 27.2 - 26，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$为$BC$边上的中线，$DE \perp AB$于点$E$.
(1) 求证：$\triangle BDE \sim \triangle CAD$.
(2) 若$AB = 13$，$BC = 10$，求线段$DE$的长.

答案： 7.
(1)证明：
$\because AB=AC$，
$\therefore \angle B=\angle C$，
$\because AD$为$BC$边上的中线，
$\therefore AD\bot BC$，
$\therefore \angle ADC=90°$，
$\because DE\bot AB$，
$\therefore \angle DEB=90°$，
$\therefore \angle DEB=\angle ADC$，
$\therefore \triangle BDE\sim\triangle CAD$； 
(2)$\frac {60}{13}$

8. 已知$\triangle ABC$的三边长为$1$，$\sqrt{3}$，$2$，在下列给定条件中，$\triangle DEF$与$\triangle ABC$不一定相似的是(D).

A.$DE = 2$，$EF = 4$，$DF = 2\sqrt{3}$
B.$\angle D = 30°$，$\angle E = 90°$
C.$DE = 2$，$EF = 4$，$\angle E = 60°$
D.$DE = 2$，$EF = 2\sqrt{3}$，$\angle F = 30°$

答案： 8.D

9. 如图 27.2 - 27，在梯形$ABCD$中，若$AB // DC$，$AD = BC$，对角线$BD$，$AC$把梯形分成了四个小三角形.
(1) 列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；(注意：全等看成相似的特例)
(2) 请你任选一组相似三角形，并给出证明.

27.2.2 相似三角形的性质

答案： 9.解:
(1)任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况:
①②,①③,①④,②③,②④,③④,其中有两组(①③,②④)是相似的.
∴选取到的两个三角形是相似三角形的概率是 P=$\frac {1}{3}$;
证明:
(2)选择①、③证明.
在△AOB 与△COD 中,
∵AB//CD,
∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB,
∴△AOB∽△COD,
选择②、④证明.
∵四边形 ABCD 是等腰梯形,
∴∠DAB=∠CBA,
∴在△DAB 与△CBA 中$\begin{cases} AD=BC,\\ ∠DAB=∠CAB,\\ AB=AB,\end{cases}$
∴△DAB≌△CBA(SAS),
∴∠ADO=∠BCO. 又∠DOA=∠COB,
∴△DOA∽△COB.