《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

1. 已知$\triangle ABC$. 请你作$\triangle DEF$，使$\angle D = \angle A$，$\angle E = \angle B$，比较观察：$\triangle ABC$与$\triangle DEF$相似吗？若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由.

答案： 相似，证明如下：
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，有$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$。
在$\triangle DEF$中，已知$\angle D = \angle A$，$\angle E = \angle B$，则$\angle F = 180^{\circ} - \angle D - \angle E = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = \angle C$。
根据三角形相似的判定定理，如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
由于$\angle D = \angle A$，$\angle E = \angle B$，$\angle F = \angle C$，因此$\triangle ABC \sim \triangle DEF$。

2. 我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？请你先画图观察，然后给出证明.

答案： 设两个直角三角形分别为$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$，其中$\angle C = \angle C' = 90°$，且斜边$AB$与$A'B'$成比例，直角边$AC$与$A'C'$也成比例。
即，$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = k$，其中$k ＞ 0$。
根据勾股定理，在$\triangle ABC$中，有$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}$；
在$\triangle A'B'C'$中，有$B'C' = \sqrt{A'B'^2 - A'C'^2}$。
计算两边对应成比例：
$\frac{BC}{B'C'} = \frac{\sqrt{AB^2 - AC^2}}{\sqrt{A'B'^2 - A'C'^2}} = \frac{\sqrt{k^2A'B'^2 - k^2A'C'^2}}{\sqrt{A'B'^2 - A'C'^2}} = \frac{k\sqrt{A'B'^2 - A'C'^2}}{\sqrt{A'B'^2 - A'C'^2}} = k$
由于$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'} = k$，根据三角形的相似性质，得出$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$。
所以，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。

3. 如图 27.2 - 14，要使$\triangle AFE \sim \triangle ABC$，需要补充一个条件可以是∠AEF=∠ACB(答案不唯一).(只需要填写一个即可)

答案： 3.∠AEF=∠ACB(答案不唯一)

4. 如图 27.2 - 15，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AC$，$AB$上，下列条件中不能满足$\triangle ADE \sim \triangle ABC$的是(C).

A.$\angle ADE = \angle B$
B.$\angle AED = \angle C$
C.$\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$
D.$AD · AC = AB · AE$

答案： 4.C

5. 如图 27.2 - 16，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC$的平分线交$BC$于点$D$，过点$D$作$AB$的平行线交$AC$于点$E$，若$\angle BAD = \angle C$，则图中的相似三角形共有(C).

A.2 对
B.3 对
C.4 对
D.5 对

答案： 5.C