《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

22. (10分)在平面内,线段$AB=20$,线段$BC=CD=DA=10$,将这四条线段
顺次首尾相接.把$AB$固定,让$AD$绕点$A$从$AB$开始逆时针旋转角$\alpha(\alpha＞0°)$到
某一位置时,$BC$,$CD$将会跟随出现到相应的位置.
(1)如图,当$AD// BC$时,设$AB$与$CD$交于点$O$,求证:$AO=10$.
(2)当旋转角$\alpha=60°$时,$\angle ADC$的度数可能是多少?
(3)取线段$CD$的中点$M$,求点$M$与点$B$距离的最大值.

答案：
22.
(1)证明:
∵AD//BC,
∴∠A = ∠B,∠D = ∠C.
在△AOD和△BOC中,
{∠A = ∠B,
AD = BC,
∠D = ∠C,}
∴△AOD ≌ △BOC(ASA).
∴AO = BO.
∵AO + BO = AB = 20,
∴AO = 10.
(2)①设AB的中点为O,如图1,
当AD从初始位置AO绕A逆时针旋转60°时,
BC也从初始位置BC'绕点B逆时针旋转60°.
而BO = BC' = 10,
∴△BC'O是等边三角形,
∴BC旋转到BO的位置,即C与O重合.
∵AO = AD = CD = 10,
∴△ADC是等边三角形,
∴∠ADC = 60°.

②如图2,当AD从AO绕A逆时针旋转60°时,CD从CD'的位置开始也旋转60°,故△ADO和△CDO都是等边三角形,
∴此时∠ADC = 120°.

综上所述,∠ADC为60°或120°.
(3)取线段CD的中点M(图略),当点M与点B距离最大时,D,C,B共线.
因为DC = BC = 10,M为CD中点,所以BM = 15.

23. (12分)在平面直角坐标系$xOy$中,点$P(2,-3)$在二次函数$y=ax^2+bx-3(a＞0)$的图象上,记该二次函数图象的对称轴为直线$x=m$.
(1)求$m$的值;
(2)若点$Q(m,-4)$在$y=ax^2+bx-3$的图象上,将该二次函数的图象向上
平移 5个单位长度,得到新的二次函数的图象.当$0\leq x\leq4$时,求新的二次函数的
最大值与最小值的和;
(3)设$y=ax^2+bx-3$的图象与$x$轴交点为$(x_1,0)$,$(x_2,0)(x_1＜x_2)$.若$4＜x_2-x_1＜6$,求$a$的取值范围.

答案： 23.
(1)m = 1
(2)11
(3)3/8 ＜ a ＜ 1