《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

13. (12分)如图,在$\bigtriangleup ABC$中,$D$,$E$分别为$AC$,$AB$上两点,满足$\angle A+\angle ABD+\angle ACE=90^{\circ}$,$P$为$BE$的中点,且$OP\perp AC$.
(1)求证:$AE· AB=AD· AC$.
(2)当$\bigtriangleup ADE$和$\bigtriangleup BCD$相似的时候,求证:$BC=CE$.

答案： 13.
(1)证明:延长PO交AC于点H,则PH⊥AC.
　　在△ABC中,∠CBO+∠BCO=90°,
∴BD⊥CE.
∵P为BE的中点，
∴BP=OP.
∴∠BOP=∠ABD.
∵∠BOP+∠POE=∠ACE+∠COH=90°,且∠POE=∠COH,
∴∠BOP=∠ACE=∠ABD.
∵∠A=∠A,
∴△ABD∽△ACE.
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$,即AE·AB=AD·AC;
(2)证明:
∵∠A+∠ABD=∠BDC,
∴∠A≠∠BDC.
∵△AED∽△BDC,
∴∠A=∠CBD.
∵∠A+∠ABD=∠BDC,∠CBD+∠ABD=∠ABC,
∴∠BDC=∠ABC.由条件可知∠BEC=∠BDC,
∴∠ABC=∠BEC.
∴BC=CE.