《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

1. 填空：
(1)$x^2+6x+9=($$x + 3$$ )^2$；
(2)$a^2-4a+4=($$a - 2$$ )^2$；
(3)$9y^2+6y+1=($$3y + 1$$ )^2$；
(4)$4x^2-4x+1=($$2x - 1$$ )^2$.

答案： 1.
(1)$x + 3$
(2)$a - 2$
(3)$3y + 1$
(4)$2x - 1$

2. 探究与发现：
(1)根据从特殊到一般的研究思路，观察并思考：
解方程$x^2=4$，得$x_1 = 2,x_2 = -2$，解题的思路是利用平方根的定义开平方；
解方程$x^2=-4$，得无实数根，原因是负数没有平方根(或一个实数的平方是非负数)；
解方程$x^2=0$，得$x_1 = x_2 = 0$，原因是$0$的平方根是$0$。
由此可以发现，若$x^2=p$，则该方程的根有三种情况，分别是：
①当$p ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根$x_1 = \sqrt{p},x_2 = -\sqrt{p}$；
②当$p ＜ 0$时，方程没有实数根；
③当$p = 0$时，方程有两个相等的实数根$x_1 = x_2 = 0$。
(2)借助解方程$x^2=4$的思路，进一步发现，若$(x+1)^2=1$，则方程有两个根，分别是$x_1 = 0,x_2 = -2$，解题思路是：把$x + 1$看做一个数，直接开平方，再化简。

答案： 2.
(1)$x_1 = 2,x_2 = -2$ 利用平方根的定义开平方 无实数根 负数没有平方根(或一个实数的平方是非负数) $x_1 = x_2 = 0$ $0$的平方根是$0$ 三 ①当$p ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根$x_1 = \sqrt{p},x_2 = -\sqrt{p}$ ②当$p ＜ 0$时，方程没有实数根 ③当$p = 0$时，方程有两个相等的实数根$x_1 = x_2 = 0$
(2)两 $x_1 = 0,x_2 = -2$ 把$x + 1$看做一个数，直接开平方，再化简

3. 下列方程中，有两个相等实数根的是(B)。

A.$(x-2)^2=-1$
B.$(x-2)^2=0$
C.$(x-2)^2=1$
D.$(x-2)^2=2$

答案： 3.B

4. 关于$x$的方程$(x-2)^2=1-m$无实数根，则$m$满足的条件是$m ＞ 1$。

答案： 4.$m ＞ 1$

5. 解下列方程：
(1)$3(x-1)^2-6=0$；
(2)$x^2-4x+4=5$；
(3)$4x^2-4x+1=6$.

答案： 5.
(1)$x_1 = 1 + \sqrt{2},x_2 = 1 - \sqrt{2}$
(2)$x_1 = 2 + \sqrt{5},x_2 = 2 - \sqrt{5}$
(3)$x_1 = \frac{1 + \sqrt{6}}{2},x_2 = \frac{1 - \sqrt{6}}{2}$