《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

7. 抛物线$y = ax^{2} + bx + c$($a$，$b$，$c$是常数，$a \neq 0$，$c＜0$)经过$(1,1)$，$(m,0)$，$(n,0)$三点，且$n \geqslant 3$.下列四个结论：①$b＜0$；②$4ac - b^{2}＜4a$；③当$n = 3$时，若点$(2,t)$在该抛物线上，则$t＞1$；④若关于$x$的一元二次方程$ax^{2} + bx + c = x$有两个相等的实数根，则$0 ＜ m \leqslant \frac{1}{3}$. 其中正确的是②③④.(填序号)

答案： 7.②③④

8. 如图1，已知二次函数$y = x^{2} + bx + c$图象经过点$A(1,-2)$和$B(0,-5)$.

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标.
(2)当$y \leqslant -2$时，请根据图象直接写出$x$的取值范围.

答案： 8.
(1)$y = x^2 + 2x - 5$，顶点坐标为$(-1, -6)$
(2)$-3\leq x\leq1$

9. 已知抛物线$y = x^{2} + ax + a - 2$.
(1)它与$x$轴一定有交点吗？说明你的理由；
(2)在有交点的情况下，求出它的交点坐标，并求出两交点间的距离；
(3)当两交点间的距离最短时，求出抛物线的表达式.

答案： 9.
(1)一定有交点
(2)交点坐标为$(\frac{-a + \sqrt{a^2 - 4a + 8}}{2}, 0)$，$(\frac{-a - \sqrt{a^2 - 4a + 8}}{2}, 0)$，两交点间的距离$d = \sqrt{a^2 - 4a + 8}$
(3)当$a = 2$时，两交点间的距离最小，此时抛物线表达式为$y = x^2 + 2x$

10. 已知$a$，$b$，$c$是实数，点$A(a + 1,b)$，$B(a + 2,c)$在二次函数$y = x^{2} - 2ax + 3$的图象上，则$b$，$c$的大小关系是$b$＜$c$.(用“$＞$”或“$＜$”填空)

答案： 10.＜

11. 如图2，二次函数的图象与$x$轴交于$A(-3,0)$和$B(1,0)$两点，交$y$轴于点$(0,3)$，点$C$，$D$是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点$B$，$D$.

(1)请直接写出$D$点的坐标；
(2)求二次函数的解析式；
(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的$x$的取值范围.

答案： 11.
(1)D$(-2, 3)$
(2)$y = -x^2 - 2x + 3$
(3)$x ＜ -2$或$x ＞ 1$