《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

12. (13 分)如图所示的“鱼”是将坐标为$(0,0)$,$(5,4)$,$(3,0)$,$(5,1)$,$(5,-1)$,$(3,0)$,$(4,-2)$,$(0,0)$的点用线段依次连接而成的,将这条“鱼”绕原点$O$按顺时针方向旋转$90°$.
(1)画出旋转后的新“鱼”;
(2)写出旋转后新“鱼”各顶点的坐标.

答案：
12.
(1) 
(2)按顺时针方向，旋转后的各点的坐标依次为(0,0),(4,-5),(0,-3),(1,-5),(-1,-5),(0,-3),(-2,-4)

13. (14 分)[问题解决]一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图(1),点$P$是正方形$ABCD$内一点,$PA=1$,$PB=2$,$PC=3$,你能求出$\angle APB$的度数吗?
小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:思路一,将$\triangle BPC$绕点$B$逆时针旋转$90°$,得到$\triangle BP'A$,连接$PP'$,求出$\angle APB$的度数;思路二,将$\triangle APB$绕点$B$顺时针旋转$90°$,得到$\triangle CP'B$,连接$PP'$,求出$\angle APB$的度数.请参考小明的思路,任选一种方法,完成下面问题:
[类比探究]如图(2),若点$P$是正方形$ABCD$外一点,$PA=3$,$PB=1$,$PC=\sqrt{11}$,求$\angle APB$的度数.

答案：
13.解：如图,将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP'A，
连接PP',
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'=90°,BP'=BP=1,AP'=CP=$\sqrt{11}$.
在Rt△PBP'中,BP=BP'=1，
∴∠BPP'=45°,根据勾股定理得PP'=$\sqrt{2}$BP=$\sqrt{2}$.
∵AP=3,
∴AP²+PP'²=9+2=11.
∵AP'²=($\sqrt{11}$)²=11,
∴AP²+PP'²=AP'².
∴△APP'是直角三角形,且∠APP'=90°，
∴∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45°.