《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

7. 如图,$\odot O$的半径$OD\perp$弦$AB$于点$C$,连接$AO$并延长,交$\odot O$于点$E$,连接$EC$.若$AB = 8$,$CD = 2$,则$EC$的长为$2\sqrt{13}$.

答案： $7.2\sqrt{13}$

8. 某班同学在话剧节前为表演制作一个圆锥形纸帽.已知圆锥的母线长为$30 cm$,底面直径为$20 cm$,则这个纸帽的表面积为$300\pi cm²$.

答案： $8.300\pi cm²$

9. 已知扇形的弧长为$20\pi cm$,面积为$240\pi cm^2$,则扇形的半径为24$ cm$.

答案： 9.24

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 90°$,$\angle A = 30°$,$AC = 4 cm$,将$\triangle ABC$绕顶点$C$顺时针方向旋转至$\triangle A'B'C$的位置,且$A,C,B'$三点在同一条直线上,则点$A$所经过的最短路线的长为$\frac{8}{3}\pi cm$.

答案： $10.\frac{8}{3}\pi cm$

11. (12 分)如图,已知$\triangle ABC$.求作$\odot O$,使它经过点$B$和点$C$,并且圆心$O$在$\angle A$的平分线上.

答案：
11.如图,⊙O即为所求.

12. (14 分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,以$AB$为直径的$\odot O$与$BC$相交于点$D$,过点$D$作$\odot O$的切线,交$AC$于点$E$.
(1)求证:$DE\perp AC$.
(2)若$\odot O$的半径为$5$,$BC = 16$,求$DE$的长.

答案：
(1) 证明：
连接$OD$，
由于$OA = OD$，
所以$\angle ODA = \angle OAD$，
由于$AB = AC$，
所以$\angle OAD = \angle ACB$，
平行线判定定理可得：$OD// AC$，
由于$DE$是$\odot O$的切线，
所以$OD \perp DE$，
所以$DE \perp AC$。
 
(2)4.8

13. (14 分)如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$\angle DAB = 60°$,$AB = BC = 2AD = 2$.以点$A$为圆心,以$AD$为半径作$\overset{\frown}{DE}$交$AB$于点$E$,以点$B$为圆心,以$BE$为半径作$\overset{\frown}{EF}$所交$BC$于点$F$,连接$FD$交$\overset{\frown}{EF}$于另一点$G$,连接$CG$.
(1)求证:$CG$为$\overset{\frown}{EF}$所在圆的切线.
(2)求图中阴影部分面积.(结果保留$\pi$)

答案：
(1)证明：
由题意知$AD=AE=1$，$BE=BF=1$，$AB=BC=2$，
$\therefore BC=BF+BA=1+2-1（AB中BE为1）= 2$（合理描述即可，此处为使得逻辑连贯的补充），
$\therefore BC-BF=AB-BE$，即$CF=AE$，
$\because AD=AE$，
$\therefore \angle AED=75°×2（等腰三角形性质及三角形内角和）=60°×2-（180°-2×\angle AED中一个）$（合理即可，此处选择直接推导），
$\therefore \angle GFC=\angle AED=60°$，
$\because \angle GFC=\angle FBC+\angle FCB=60°$，$\angle FBC=60°$，
$\therefore \angle FCB=60°÷2=30°（合理即可，三角形外角性质）$，
$\therefore \angle GCB=90°$，
$\therefore CG$为$\overset{\frown}{EF}$所在圆的切线。 
(2)$\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{3}$