《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

5. 将图27.3-12中的$\triangle ABC$进行如下变换：
①关于$y$轴对称的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；
②以$B$点为位似中心，将$\triangle ABC$放大到原来的2倍，得到$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$.
请写出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的顶点坐标，并在图中画出相应的$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$.

答案：
5.$A_1(0,-2),B_1(-3,-1),C_1(-2,1)$,

6. 在平面直角坐标系中，$\triangle AOB$的顶点坐标分别为$A(-1,3),O(0,0),B(-3,1)$.以坐标原点$O$为位似中心，将$\triangle AOB$放大，记所得三角形为$\triangle A^{\prime}OB^{\prime}$.若点$A$的对应点$A^{\prime}$的纵坐标为$-6$，求点$B^{\prime}$的横坐标.

答案： 6.解:
∵以坐标原点O为位似中心,
将△AOB放大,所得三角形为△$A'O'B'$,A(-1,3),
点A的对应点$A'$的纵坐标为-6,
∴△AOB与△$A'O'B'$相似比为:3:6 = 1:2.
∵B(-3,1),
∴$B'$的横坐标为-3×(-2) = 6.

7. 已知抛物线$y=\frac{1}{5}x^{2}+bx+c$与$x$轴交于点$A(1,0)$和点$B$，对称轴为直线$x=2$.
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点$C$为抛物线对称轴上一点，则在抛物线上是否存在点$D$，使得$\triangle OAC$与$\triangle OBD$位似，且位似中心为点$O$？若存在，求出点$D$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 7.解:
(1)
∵对称轴为直线x = 2,
∴$-\frac{b}{2 × \frac{1}{5}} = 2$.解得$b = -\frac{4}{5}$.
∵抛物线与x轴交于点A(1,0),
∴$\frac{1}{5} - \frac{4}{5} + c = 0$.解得$c = \frac{3}{5}$.
∴抛物线的表达式为:$y = \frac{1}{5}x^2 - \frac{4}{5}x + \frac{3}{5}$;
(2)存在.
∵抛物线$y = \frac{1}{5}x^2 - \frac{4}{5}x + \frac{3}{5}$与x轴交于点A(1,0)和点B,对称轴为直线x = 2,
∴点B的坐标为(3,0).
∴OA = 1,OB = 3.
∵△OAC与△OBD位似,且位似中心为点O,
∴△OAC与△OBD相似比为1:3.
∵点C在抛物线对称轴上,
∴点C的横坐标为2.
∴点D的横坐标为6.
∴点D的纵坐标为:$\frac{1}{5} × 6^2 - \frac{4}{5} × 6 + \frac{3}{5} = 3$.
∴点D的坐标为(6,3).