《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

1. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的求根公式是$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

答案： 1.$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

2. 如果方程$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$有两个实数根分别为$x_1$，$x_2$.
(1)填写下表：
(2)猜想：$x_1+x_2=$$-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=$$-\frac{c}{a}$.(用$a$，$b$，$c$表示)
(3)请证明你的猜想.

答案： 2.
(1)$\frac{4}{3}$ $-\frac{4}{3}$ $\frac{3}{2}$ $\frac{1}{2}$ $-\frac{7}{6}$ $-\frac{1}{2}$
(2)$-\frac{b}{a}$ $-\frac{c}{a}$ 
(3) 证明：
方程 $ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$，
由求根公式得：
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，
所以：
$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = -\frac{b}{a}$，
$x_1x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} × \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{c}{a}$。

3. 若$x_1$，$x_2$是方程$x^2-6x-7=0$的两个根，则(A).

A.$x_1+x_2=6$
B.$x_1+x_2=-6$
C.$x_1· x_2=\frac{7}{6}$
D.$x_1· x_2=7$

答案： 3.A

4. 若关于$x$的一元二次方程$x^2-8x+m=0$两个根为$x_1$，$x_2$，且$x_1=3x_2$，则$m$的值为(C).

A.$4$
B.$8$
C.$12$
D.$16$

答案： 4.C

5. 已知$a$，$b$是方程$x^2+3x-4=0$的两个根，则$a^2+4a+b-3=$$-2$.

答案： 5.$-2$

6. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-px+1=0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$.
(1)填空：$x_1+x_2=$$p$，$x_1x_2=$$1$；
(2)求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$，$x_1+\frac{1}{x_1}$；
(3)已知$x_1^2+x_2^2=2p+1$，求$p$的值.

答案： 6.
(1)$p$ $1$
(2)$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = p,x_1 + \frac{1}{x_1} = p$
(3)$p = 3$