《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

7. 如图5，在$\bigtriangleup ABC$中，$AB = AC$，若$M$是$BC$边上任意一点，将$\bigtriangleup ABM$绕点$A$逆时针旋转得到$\bigtriangleup ACN$，点$M$的对应点为点$N$，连接$MN$，则下列结论一定正确的是(C).


A.$AB = AN$
B.$AB// NC$
C.$\angle AMN = \angle ACN$
D.$MN \perp AC$

答案： 7.C

8. 如图6，网格中每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，$\bigtriangleup ABO$的三个顶点分别为$A( - 1,3),B( - 4,3),O(0,0)$.
(1)画出$\bigtriangleup ABO$关于$x$轴对称的$\bigtriangleup A_{1}B_{1}O$，并写出点$B_{1}$的坐标；
(2)画出$\bigtriangleup ABO$绕点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$后得到的$\bigtriangleup A_{2}B_{2}O$，并写出点$B_{2}$的坐标；
(3)在(2)的条件下，求点$B$旋转到点$B_{2}$所经过的路径长.(结果保留$\pi$)
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答案：
8.
(1)$B_1(-4,-3)$
(2)$B_2(3,4)$

 
(3)所经过的路径长为$\frac{5\pi}{2}$.

9. 如图7(1)是实验室中的一种摆动装置，$BC$在地面上，支架$ABC$是底边为$BC$的等腰直角三角形，摆动臂$AD$可绕点$A$旋转，摆动臂$DM$可绕点$D$旋转，$AD = 30,DM = 10$.
(1)在旋转过程中：
①当$A,D,M$三点在同一直线上时，求$AM$的长；
②当$A,D,M$三点为同一直角三角形的顶点时，求$AM$的长.
(2)若摆动臂$AD$顺时针旋转$90^{\circ}$，点$D$的位置由$\bigtriangleup ABC$外的点$D_{1}$转到其内的点$D_{2}$处，连接$D_{1}D_{2}$，如图7(2)，此时$\angle AD_{2}C = 135^{\circ},CD_{2} = 60$，求$BD_{2}$的长.

]

答案：
9.解：
(1)①$AM=AD+DM=40$或$AM=AD-DM=20$.
②显然$\angle MAD$不能为直角.
当$\angle AMD$为直角时,$AM^{2}=AD^{2}-DM^{2}=30^{2}-10^{2}=800$,$\therefore AM=20\sqrt{2}$.
当$\angle ADM=90^{\circ}$时,$AM^{2}=AD^{2}+DM^{2}=30^{2}+10^{2}=1000$,$\therefore AM=10\sqrt{10}$.
综上所述,满足条件的$AM$的值为$20\sqrt{2}$或$10\sqrt{10}$.
(2)如图,连接$CD_1$.

由题意,得$\angle D_1AD_2=90^{\circ}$,$AD_1=AD_2=30$,$\therefore \angle AD_2D_1=45^{\circ}$,$D_1D_2=30\sqrt{2}$.
$\because \angle AD_2C=135^{\circ}$,$\therefore \angle CD_2D_1=90^{\circ}$,$\therefore CD_1=\sqrt{CD_2^{2}+D_1D_2^{2}}=30\sqrt{6}$.
$\because \angle BAC=\angle D_1AD_2=90^{\circ}$,$\therefore \angle BAC-\angle CAD_2=\angle D_2AD_1-\angle CAD_2$,$\therefore \angle BAD_2=\angle CAD_1$.
$\because AB=AC$,$AD_2=AD_1$,$\therefore \triangle BAD_2\cong\triangle CAD_1(SAS)$,$\therefore BD_2=CD_1=30\sqrt{6}$.