《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

7. 若关于$x$的一元二次方程$x^2+2x+p=0$两根为$x_1$，$x_2$，且$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=3$，则$p$的值为(A).

A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-6$
D.$6$

答案： 7.A

8. 若$m$，$n$是一元二次方程$x^2-5x+2=0$的两个实数根，则$m+(n-2)^2$的值为7.

答案： 8.$7$

9. 若一元二次方程$2x^2-4x-1=0$的两根为$m$，$n$，则$3m^2-4m+n^2$的值为6.

答案： 9.$6$

10. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k+1)x+\frac{1}{2}k^2-2=0$.
(1)求证：无论$k$为何实数，方程总有两个不等的实数根.
(2)若方程的两个实数根$x_1$，$x_2$满足$x_1-x_2=3$，求$k$的值.

答案： 10.
(1)证明:$\Delta = [-(2k + 1)]^2 - 4 × 1 × (\frac{1}{2}k^2 - 2) = 4k^2 + 4k + 1 - 2k^2 + 8 = 2k^2 + 4k + 9 = 2(k + 1)^2 + 7$.
∵无论$k$为何实数,$2(k + 1)^2 \geq 0$,
∴$2(k + 1)^2 + 7 ＞ 0$,
∴无论$k$为何实数,方程总有两个不等的实数根.
(2)解:由根与系数的关系得$x_1 + x_2 = 2k + 1,x_1x_2 = \frac{1}{2}k^2 - 2$.
∵$x_1 - x_2 = 3$,
∴$(x_1 - x_2)^2 = 9$,
∴$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 9$,
∴$(2k + 1)^2 - 4 × (\frac{1}{2}k^2 - 2) = 9$,化简得$k^2 + 2k = 0$, 解得$k = 0$或$k = -2$.