《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

13. 如图 24.1-31，$OA$，$OB$，$OC$都是$\odot O$的半径，$\angle ACB = 2\angle BAC$.
(1)求证：$\angle AOB = 2\angle BOC$.
(2)若$AB = 4$，$BC = \sqrt{5}$，求$\odot O$的半径.

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答案：
13.
(1)证明:
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$,
∴∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB,
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$,
∴∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC,
∵∠ACB = 2∠BAC,
∴∠AOB = 2∠BOC.
(2)解:过点O作半径OD⊥AB于点E,如图 则∠DOB = $\frac{1}{2}$∠AOB,AE = BE,
∵∠AOB = 2∠BOC,
∴∠DOB = ∠BOC,
∴BD = BC.
∵AB = 4,BC = $\sqrt{5}$,
∴BE = 2,DB = $\sqrt{5}$, 在Rt△BDE中,
∵∠DEB = 90°
∴DE = $\sqrt{BD^{2}-BE^{2}}$ = 1, 在Rt△BOE中,
∵∠OEB = 90°,
∴OB²=(OB - 1)²+2²,
∴OB = $\frac{5}{2}$,即⊙O的半径是$\frac{5}{2}$.

14. 如图 24.1-32，圆内接四边形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$E$，$BD$平分$\angle ABC$，$\angle BAC = \angle ADB$.
(1)求证：$DB$平分$\angle ADC$，并求$\angle BAD$的大小.
(2)过点$C$作$CF // AD$交$AB$的延长线于点$F$.若$AC = AD$，$BF = 2$，求此圆半径的长.

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答案： 14.
(1)∠BAD = 90°
(2)4