《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

3. 如图 22.3 - 2，$ ABCD $ 是一块边长为 $ 2m $ 的正方形铁板，在边 $ AB $ 上选取一点 $ M $，分别以 $ AM $ 和 $ MB $ 为边截取两块相邻的正方形板材。当 $ AM $ 的长为何值时，截取的板材面积最小？

答案： 3.解:设AM的长为xm,则BM的长为(2−x)m,以AM和BM为边的两个正方形面积之和为ym². 根据题意,y与x之间函数的表达式为y=x²+(2−x)²=2x²−4x+4=2(x−1)²+2.
∵a=2＞0,
∴当x=1时,y有最小值,最小值是2.

4. 如图 22.3 - 3，一张正方形纸板的边长为 $ 2cm $，将它剪去 $ 4 $ 个全等的直角三角形(图中阴影部分)。设 $ AE = BF = CG = DH = xcm $，四边形 $ EFGH $ 的面积为 $ ycm^{2} $。
(1)求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式和自变量 $ x $ 的取值范围。
(2)当 $ x $ 为多少时，对应的四边形 $ EFGH $ 的面积最小，最小值多少？

答案： 4.
(1)y=2x²−4x+4,0＜x＜2　
(2)当x=1时,面积最小,最小值为2cm².

5. 如图 22.3 - 4，利用 $ 135^{\circ} $ 的墙角修建一个梯形 $ ABCD $ 的储料场，并使 $ \angle C = 90^{\circ} $。如果新建墙 $ BCD $ 总长 $ 15m $，那么怎样修建才能使储料场的面积最大？

答案： 5.解:设CD=x,则BC=15−x，因为∠BAD=135°,过点A作BC的垂线AH,垂足为H(图略)，则AH=BH=x,因此AD=15−2x，因此梯形面积S=$\frac{(15−2x+15−x)x}{2}=-\frac{3}{2}(x−5)^2+\frac{75}{2}$. 当x=5m时,S取得最大值37.5m²,即当BC长取10m,CD长取5m时,储料场面积最大.