《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

8. 某款“不倒翁”的从正面看视图如图 24.4-5(2) 所示，$PA, PB$ 分别与 $\overset{\frown}{AMB}$ 所在圆相切于点 $A, B$. 若该圆半径是 $9$ cm，$\angle P = 40°$，则 $\overset{\frown}{AMB}$ 的长是(A).


A.$11\pi$ cm
B.$\frac{11}{2}\pi$ cm
C.$7\pi$ cm
D.$\frac{7}{2}\pi$ cm

答案： 8.A

9. 如图 24.4-6，$AB$ 是半圆 $O$ 的直径，点 $D$ 是弦 $AC$ 延长线上一点，连接 $BD, BC$，$\angle D = \angle ABC = 60°$.
(1) 求证：$BD$ 是半圆 $O$ 的切线.
(2) 当 $BC = 3$ 时，求 $AC$ 的长.
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答案：
9.
(1)证明:
∵AB是半圆O的直径,
∴∠ACB = 90°.
∵∠D = ∠ABC = 60°,
∴∠CAB = 90° - ∠ABC = 30°.
∴∠ABD = 180° - ∠CAB - ∠D = 90°.
∴BD是半圆O的切线;
(2)解:如图,连接OC,
∵OC = OB, ∠CBA = 60°,
∴△OCB为等边三角形.
∴∠COB = 60°, OC = CB = 3.

∴∠AOC = 180° - ∠COB = 120°, lAC = $\frac{120}{360} × 2\pi × 3 = 2\pi$.

10. 如图 24.4-7，一条公路的转弯处是一段圆弧 $\overset{\frown}{AC}$，点 $O$ 是这段弧所在圆的圆心，$B$ 为 $\overset{\frown}{AC}$ 上一点，$OB \perp AC$ 于 $D$. 若 $AC = 300\sqrt{3}$ m，$BD = 150$ m，则 $\overset{\frown}{AC}$ 的长为(B).


A.$300\pi$ m
B.$200\pi$ m
C.$150\pi$ m
D.$100\sqrt{3}\pi$ m

答案： 10.B

11. 如图 24.4-8，在半径为 $5$ 的 $\odot O$ 中，将劣弧 $AB$ 沿弦 $AB$ 翻折，使折叠后的弧 $AB$ 恰好与 $OA, OB$ 相切，则劣弧 $AB$ 的长为(B).

A.$\frac{5}{3}\pi$
B.$\frac{5}{2}\pi$
C.$\frac{5}{4}\pi$
D.$\frac{5}{6}\pi$

答案： 11.B

12. 如图 24.4-9，将放置在直线 $l$ 上的扇形 $OAB$ 由①滚动(无滑动)到②，再由②滚动到③. 若半径 $OA = 2$，$\angle AOB = 45°$，则点 $O$ 所经过的最短路径的长是(C).

A.$2\pi + 2$
B.$3\pi$
C.$\frac{5\pi}{2}$
D.$\frac{5\pi}{2} + 2$

答案： 12.C