《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

14. (16 分)如图,某兴趣小组计划开垦一个面积为$8 m^2$的矩形地块$ABCD$种植农作物,地块一边靠墙,另外三边用木栏围住,木栏总长为$a m$.
[问题提出]小组同学提出这样一个问题:若$a = 10$,能否围出矩形地块?
[问题探究]小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设$AB$为$x m$,$BC$为$y m$.由矩形地块面积为$8 m^2$,得到$xy = 8$,满足条件的$(x, y)$可看成是反比例函数$y = \frac{8}{x}$的图象在第一象限内点的坐标;木栏总长为$10 m$,得到$2x + y = 10$,满足条件的$(x, y)$可看成一次函数$y = -2x + 10$的图象在第一象限内点的坐标,同时满足这两个条件的$(x, y)$就可以看成两个函数图象交点的坐标.
如图 2,反比例函数$y = \frac{8}{x} (x ＞ 0)$的图象与直线$l_1: y = -2x + 10$的交点坐标为$(1, 8)$和(4,2),因此,木栏总长为$10 m$时,能围出矩形地块,分别为$AB = 1 m, BC = 8 m$,或$AB = $4$ m, BC = $2$ m$.

(1)根据小颖的分析思路,完成上面的填空.
[类比探究]
(2)若$a = 6$,能否围出矩形地块? 请仿照小颖的方法,在图 2 中画出一次函数图象并说明理由.
[问题延伸]当木栏总长为$a m$时,小颖建立了一次函数$y = -2x + a$.发现直线$y = -2x + a$可以看成是直线$y = -2x$通过平移得到的,在平移过程中,当过点$(2, 4)$时,直线$y = -2x + a$与反比例函数$y = \frac{8}{x} (x ＞ 0)$的图象有唯一交点.
(3)请在图 2 中画出直线$y = -2x + a$过点$(2, 4)$时的图象,并求出$a$的值.
[拓展应用]小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“$y = -2x + a$与$y = \frac{8}{x}$图象在第一象限内交点的存在问题”.
(4)若要围出满足条件的矩形地块,且$AB$和$BC$的长均不小于$1 m$,请直接写出$a$的取值范围.

答案：
14.
(1)(4,2) 4 2
(2)不能围出,
由$2x + y = 6$，则$y = -2x + 6$，$y=\frac{8}{x}$，联立$\begin{cases}y = \frac{8}{x}\\y = -2x + 6\end{cases}$，
$\frac{8}{x}=-2x + 6$，$8=-2x^{2}+6x$，$2x^{2}-6x + 8 = 0$，$x^{2}-3x + 4 = 0$。
$\Delta=(-3)^{2}-4×4=-7\lt0$，方程无解，所以不能围出矩形地块。

(3)a=8,
$ (4)8\leq a\leq17$