《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

5. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为 $ 2000 $ 元，该影院每天售出的电影票数量 $ y $(单位：张)与售价 $ x $(单位：元/张)之间满足一次函数关系($ 30 \leqslant x \leqslant 80 $，且 $ x $ 是整数)，部分数据如下表所示：

(1)请求出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式。
(2)设该影院每天的利润(利润 $ = $ 票房收入 $ - $ 运营成本)为 $ w $(单位：元)，求 $ w $ 与 $ x $ 之间的函数关系式。
(3)该影院将电影票售价 $ x $ 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？

答案： 5.
(1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0). 由题意可知$\begin{cases}40k + b = 164,\\50k + b = 124.\end{cases}$ 解方程组得$\begin{cases}k = -4,\\b = 324.\end{cases}$ 这个一次函数的解析式为y=−4x+324(30≤x≤80,且x是整数).
(2)根据题意,得w=(−4x+324)x−2000 =-4x²+324x−2000(30≤x≤80,且x是整数).
(3)因为w=−4x²+324x−2000=−4(x−40.5)²+4561, 又x是整数,所以当x=40或41时,w取得最大值. 此时w=−4×0.5²+4561=4560. 答:该影院将电影票售价定为每张40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元.

6. $ 5 $ 月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季。为了解樱桃的收益情况，从第 $ 1 $ 天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续 $ 15 $ 天的销售情况进行了统计与分析：

(1)A 樱桃园第 $ x $ 天的单价是(52−2x)元/盒；(用含 $ x $ 的代数式表示)
(2)求 A 樱桃园第 $ x $ 天的利润 $ y_{1} $(单位：元)与 $ x $ 的函数关系式；(利润 $ = $ 单价 $ × $ 销售量 $ - $ 固定成本)
(3)① $ y_{2} $ 与 $ x $ 的函数关系式是y₂=−30x²+500x+25。
②求第几天两处樱桃园的利润之和(即 $ y_{1} + y_{2} $)最大，最大是多少元？
(4)这 $ 15 $ 天中，共有4天 B 樱桃园的利润 $ y_{2} $ 比 A 樱桃园的利润 $ y_{1} $ 大。

答案： 6.
(1)(52−2x).
(2)y₁=(10x+10)(52−2x)−745=−20x²+500x−225,关系式为y₁=−20x²+500x−225.
(3)①y₂=−30x²+500x+25；②设两处樱桃园第x天的利润之和为w元. 由题意可得,w=(−20x²+500x−225)+(−30x²+500x+25) =-50x²+1000x−200,
∵a=−50＜0,
∴抛物线开口向下. 又
∵对称轴是直线x=$-\frac{b}{2a}=-\frac{1000}{2×(-50)}=10$,
∴当x=10时,w最大,w最大=−50×10²+1000×10−200=4800(元). 第10天两处樱桃园利润之和最大,最大是4800元.
(4)4.