《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

8. 如图 1，在平面直角坐标系中，函数 $ y = kx $ 与 $ y = -\frac{2}{x} $ 的图象交于 $ A,B $ 两点，过 $ A $ 作 $ y $ 轴的垂线，交函数 $ y = \frac{4}{x} $ 的图象于点 $ C $，连接 $ BC $，则 $ \triangle ABC $ 的面积为(C).


A.2
B.4
C.6
D.8

答案： 8.C

9. 如图 2，一次函数 $ y = ax + b(a \neq 0) $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象交于点 $ A(1,4) $，$ B(n,-1) $.

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式 $ ax + b ＜ \frac{k}{x} $ 的解集；
(3)已知点 $ D $ 在 $ x $ 轴上，点 $ C $ 在反比例函数图象上.若以 $ A,B,C,D $ 为顶点的四边形是平行四边形，求点 $ C $ 的坐标.

答案： 9.解：
(1)将点A，B的坐标代入反比例函数表达式得：$k = 4 × 1 = - n$．
解得：$k = 4$，$n = - 4$．
即反比例函数的表达式为：$y = \frac {4 } { x }$，点$B( - 4， - 1)$；
将点A，B的坐标代入一次函数表达式得：$\left\{ \begin{array}{l} 4 = a + b ,\\ - 1 = - 4a + b , \end{array} \right.$解得$\left\{ \begin{array}{l} a = 1 ,\\ b = 3 . \end{array} \right.$
则一次函数表达式为：$y = x + 3$；
(2)观察函数图象知，当$0 ＜ x ＜ 1$或$x ＜ - 4$时，$ax + b ＜ \frac {k } { x }$成立；
(3)设点C的坐标为$(m，\frac {4 } { m })$，点$D(x，0)$．
当AB为对角线时，由中点坐标公式得：$4 - 1 = \frac {4 } { m }$，解得：$m = \frac {4 } { 3 }$，则点$C(\frac {4 } { 3 }，3)$；
当AC或AD为对角线时，同理可得：$4 + \frac {4 } { m } = - 1$或$4 = \frac {4 } { m } - 1$，解得：$m = \pm \frac {4 } { 5 }$，则点$C( - \frac {4 } { 5 }， - 5 )$或$(\frac {4 } { 5 }，5)$，
综上，点C的坐标为：$(\frac {4 } { 3 }，3)$或$( - \frac {4 } { 5 }， - 5 )$或$(\frac {4 } { 5 }，5)$．

10. 如图 3，$ A $ 为双曲线上一点，过点 $ A $ 作 $ AC \perp x $ 轴，垂足为点 $ C $，且 $ S_{\triangle AOC} = 2 $.

(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若点 $ (-1,y_1) $，$ (-3,y_2) $ 在该双曲线上，试比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小.

答案： 10.解：
(1)设所求的函数解析式为$y = \frac {k } { x }$，点A坐标为$(x，y)$，$\therefore OC = x$，$AC = y$．
$\because S _ { \triangle A O C } = \frac {1 } { 2 } OC · AC = \frac {1 } { 2 } xy = 2$，$\therefore xy = 4$，即$k = 4$．$\therefore y = \frac {4 } { x }$
(2)$y _ { 1 } ＜ y _ { 2 }$．