《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

9. 两个半径相等的半圆按如图 24.4-13 方式放置，半圆 $O'$ 的一个直径端点与半圆 $O$ 的圆心重合，若半圆的半径为 $2$，则阴影部分的面积是(A).

A.$\frac{4}{3}\pi - \sqrt{3}$
B.$\frac{4}{3}\pi$
C.$\frac{2}{3}\pi - \sqrt{3}$
D.$\frac{4}{3}\pi - \frac{\sqrt{3}}{4}$

答案： 9.A

10. 如图 24.4-14，某玩具品牌的标志由半径为 $1$ cm 的三个等圆构成，且三个等圆 $\odot O_1, \odot O_2, \odot O_3$ 相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为(C).


A.$\frac{1}{4}\pi$ cm²
B.$\frac{1}{3}\pi$ cm²
C.$\frac{1}{2}\pi$ cm²
D.$\pi$ cm²

答案： 10.C

11. 如图 24.4-15，$\triangle ABC$ 内接于 $\odot O$，$AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$CD \perp AB$ 于点 $D$，将 $\triangle CDB$ 沿 $BC$ 所在的直线翻折，得到 $\triangle CEB$，点 $D$ 的对应点为 $E$，延长 $EC$ 交 $BA$ 的延长线于 $F$.
(1) 求证：$CF$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2) 若 $\angle F = 45°$，$AB = 8$，求图中阴影部分的面积.

答案：
(1)证明：
连接$OC$。
由于$OB = OC$，
根据等腰三角形的性质，$\angle OBC = \angle OCB$。
由题意知$\triangle CEB$是由$\triangle CDB$沿$BC$翻折得到的，
所以$\angle EBC = \angle DBC$，$\angle BEC = \angle CDB = 90°$。
因此，$\angle OBC = \angle EBC$，
所以$\angle OCB = \angle EBC$，
根据平行线的性质，$OC // BE$。
由于$\angle FEB = 90°$，
根据垂直线的性质，$\angle FCO = \angle FEB = 90°$。
因此，$CF$是$\odot O$的切线。
 
(2)2π - 4