《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

1. 已知$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$，相似比为$k$，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？请你画出图形加以证明.

答案： 证明：
设$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$的相似比为$k$，即$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} = k$。
对应高的比：
设$\triangle ABC$的高为$h$，$\triangle A'B'C'$的高为$h'$。
由于$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$，根据相似三角形的性质，对应高之比等于相似比，即$\frac{h}{h'} = k$。
对应中线的比：
设$\triangle ABC$的中线为$m$，$\triangle A'B'C'$的中线为$m'$。
由于中线是连接两个中点，且中线长度与两边长度成比例（由中线定理或相似三角形性质可得），因此$\frac{m}{m'} = k$。
对应角平分线的比：
设$\triangle ABC$的角平分线为$d$，$\triangle A'B'C'$的角平分线为$d'$。
由于角平分线将对应的角分为两个相等的角，并且角平分线长度与两边长度成比例（由角平分线定理或相似三角形性质可得），因此$\frac{d}{d'} = k$。
综上，$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$的对应高、对应中线、对应角平分线的比均为$k$。

2. 相似三角形面积的比与相似比有什么关系？你能说明理由吗？

答案： 设两个相似三角形的相似比为 $k$，即对应边的比值为 $k$。
根据相似三角形的性质，对应边之间的比例是恒定的，即：
$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} = k$
其中 $ABC$ 和 $A'B'C'$ 是两个相似三角形。
接下来，考虑三角形的面积。
三角形 $ABC$ 的面积 $S_{ABC}$ 可以表示为：
$S_{ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC × \sin B$
同理，三角形 $A'B'C'$ 的面积 $S_{A'B'C'}$ 可以表示为：
$S_{A'B'C'} = \frac{1}{2} × A'B' × B'C' × \sin B'$
由于 $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$，根据相似三角形的性质，有 $\angle B = \angle B'$，因此 $\sin B = \sin B'$。
将面积比值的表达式进行化简：
$\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}} = \frac{\frac{1}{2} × AB × BC × \sin B}{\frac{1}{2} × A'B' × B'C' × \sin B'} = \frac{AB × BC}{A'B' × B'C'} = k^2$
由此可见，相似三角形面积的比等于相似比的平方。

3. 如图 27.2 - 28，在$\triangle ABC$中，已知点$D$，$E$分别是边$AB$，$AC$的中点，$AN \perp BC$于点$N$，则$AM:AN =$$\frac {1}{2}$，$\triangle ADE$与$\triangle ABC$的周长之比等于$\frac {1}{2}$.

答案： 3.$\frac {1}{2}$ $\frac {1}{2}$

4. 如果两个相似三角形对应边的比为$2:3$，那么它们对应高线的比是(A).

A.$2:3$
B.$2:5$
C.$4:9$
D.$8:27$

答案： 4.A

5. 两个相似三角形的相似比为$2:3$，面积之和为$78$，则较大三角形的面积为(A).

A.$54$
B.$46.8$
C.$42$
D.$52$

答案： 5.A

6. 已知$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$，且相似比为$3:1$，则下列结论错误的是(B).

A.$AB$是$A'B'$的$3$倍
B.$\angle A$是$\angle A'$的$3$倍
C.周长之比为$3:1$
D.面积之比为$9:1$

答案： 6.B

7. 若$\triangle ABC \sim \triangle DEF$，$\frac{AB}{DE} = \frac{2}{5}$，$\triangle ABC$的周长是$10$，则$\triangle DEF$的周长是(C).

A.$10$
B.$15$
C.$25$
D.$30$

答案： 7.C

8. 如图 27.2 - 29，$D$是$\triangle ABC$的边$BC$上一点，$AB = 4$，$AD = 2$，$\angle DAC = \angle B$.若$\triangle ABD$的面积为$15$，则$\triangle ADC$的面积是多少?

答案： 8.5(提示:由∠DAC=∠B,∠C=∠C,得△ADC∽△BAC,相似比k=$\frac {AD}{BA}=\frac {2}{4}=\frac {1}{2}$.
∵$\frac {S_{△ADC}}{S_{△BAC}}=\frac {1}{4}$,即$\frac {S_{△ADC}}{S_{△ADC}+S_{△ABD}}=\frac {1}{4}$,可得 S_{△ADC}=5