《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

  一、弧度制
情境：同桌分别作半径不同的圆，在圆上任作一条半径 $ OA $，并借助绳子设法在圆上截取 $ \overset{\frown}{AB} $ 的长度等于半径 $ OA $，再连接半径 $ OB $.


【思考】
(1) 测量 $ \angle AOB $，大约是多少度？
(2) 若圆心角分别为 $ \alpha = 30^{\circ} $，$ \alpha = 60^{\circ} $，当半径 $ r $ 分别为 $ 1 $，$ 2 $ 时，圆心角 $ \alpha $ 所对的弧长 $ l $ 与半径 $ r $ 的比值 $ \frac{l}{r} $ 分别是多少？比值 $ \frac{l}{r} $ 与所取的圆的半径的大小是否有关？
(3) 在大小不同的圆中，长为 $ 1 $ 的弧所对的圆心角相等吗？
(4) 角的弧度数怎样计算？

答案： $【$思考$】 $　　
$(1)$提示：大约是$57°. $　　
$(2)$提示：$ $　　
$ $　　
$ $　　
$ $　　
$ $　　
$ $　　
$ $　　
比值$\frac { l } { r }$与所取的圆的半径的大小无关$. $　　
$(3)$提示：不相等$. $　　
$(4)$提示：在半径为$r$的圆中，弧长为$l$的$ $　　
弧所对的圆心角为$\alpha \mathrm { r a d }，$那么$| \alpha | = \frac { l } { r }. $　　

二、角度制与弧度制的换算
【思考】
(1) 怎样进行角度与弧度的互化？
(2) $ 30^{\circ} $，$ 45^{\circ} $，$ 60^{\circ} $，$ 90^{\circ} $ 分别对应多少弧度？

答案： 【思考】
(1)提示:$1 ^ { \circ } = \frac { \pi } { 1 8 0 } \mathrm { r a d } \approx 0 . 0 1 7 4 5 \mathrm { r a d } , 1 \mathrm { r a d } =$
$( \frac { 1 8 0 } { \pi } ) ^ { \circ } \approx 5 7 . 3 0 ^ { \circ }$.
(2)提示:$3 0 ^ { \circ } = \frac { \pi } { 6 } , 4 5 ^ { \circ } = \frac { \pi } { 4 } , 6 0 ^ { \circ } = \frac { \pi } { 3 } , 9 0 ^ { \circ } = \frac { \pi } { 2 }$.

 三、扇形的面积公式和弧长公式
【思考】
设扇形的半径为 $ R $，弧长为 $ l $，$ \alpha $ 为其圆心角，面积为 $ S $，当 $ \alpha $ 分别取度数和弧度数时，扇形的弧长和面积公式分别怎样表示？

答案： 【思考】
提示：当$\alpha$为度数时，$l = \frac { \alpha \pi R } { 1 8 0 } , S = \frac { \alpha \pi R ^ { 2 } } { 3 6 0 }$；
当$\alpha$为弧度数时，$l = \alpha R , S = \frac { 1 } { 2 } l R = \frac { 1 } { 2 } \alpha R ^ { 2 }$.