《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

  一、对数的运算性质
【思考】
（1）对数有哪些运算性质？
（2）等式 $ \log_{2}[(-3) × (-5)] = \log_{2}(-3) + \log_{2}(-5) $ 是否正确？

答案： （1）提示：如果 $a＞0$，且 $a \neq 1$，$M＞0$，$N＞0$，那么①$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$；②$\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$；③$\log_a M^n = n\log_a M$。（2）提示：不正确.对数的运算性质要求 $M＞0$，$N＞0$。

  二、对数换底公式
【思考】
（1）对数换底公式是什么？
（2） $ \log_{a}b $ 与 $ \log_{b}a $ 有怎样的关系？

答案： （1）提示：若 $a＞0$，且 $a \neq 1$，$b＞0$，$c＞0$，且 $c \neq 1$，则有 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$。（2）提示：$\log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a} = \frac{1}{\log_b a}$，即 $\log_a b \cdot \log_b a = 1$。

【例 1】(1)若 $ \lg 2 = a $，$ \lg 3 = b $，则 $ \frac{\lg 45}{\lg 12} = $(B)

A.$ \frac{a + 2b}{2a + b} $
B.$ \frac{1 - a + 2b}{2a + b} $
C.$ \frac{1 - b + 2a}{2a + b} $
D.$ \frac{1 - a + 2b}{a + 2b} $

答案： （1）B

 （2）求下列各式的值.
① $ \frac{3}{4}\lg 25 + 2^{\log_{2}3} + \lg \sqrt{0.1} + \lg (2\sqrt{2}) $；
② $ (\lg 5)^{2} + \lg 2 \cdot \lg 50 $.

答案： （2）解：①4. ②1.