《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

分段函数
情境：某商品的单价为5000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1000元。某单位购买x件$(x\in \mathbf{N}^*,x\leqslant 15)$，设总购买费用是y元。
【思考】
（1）请写出y关于x的函数解析式。
（2）在不同范围内取值时，x与y所对应的关系相同吗？
（3）分段函数是一个函数还是几个函数？
（4）分段函数的定义域和值域分别是什么？

答案：
(1)提示：
$y=\begin{cases}5000x,x\in\{1,2,3,4,5\}, \\ 4500x,x\in\{6,7,8,9,10\}, \\ 4000x,x\in\{11,12,13,14,15\}.\end{cases}$
(2)提示：$x$在不同范围内取值时，$x$与$y$所对应的关系不同.
(3)提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数，只不过在定义域的不同子集内，对应关系不同而已.
(4)提示：分段函数的各段定义域的并集即为分段函数的定义域，各段值域的并集即为分段函数的值域.

【例1】
(1)若函数$f(x)=\begin{cases}x + 1,x\leqslant - 2,\\x^2 + 2x,-2\lt x\lt 2,\\2x - 1,x\geqslant 2,\end{cases}$则$f(-\sqrt 3)=$3 - 2\sqrt{3}；$f(f(-\frac{5}{2}))=$-\frac{3}{4}。

答案：
(1)$3 - 2\sqrt{3}$ $-\frac{3}{4}$

 (2)已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2 - 4,0\leqslant x\leqslant 2,\\2x,x\gt 2,\end{cases}$若$f(x_0)=8$，则$x_0=$4。

答案：
(2)4