《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

1. 若 $ m = 2a^{2} + 2a + 1 $，$ n = (a + 1)^{2} $，则 $ m $，$ n $ 的大小关系是$m \geq n$.

答案： 1.$m \geq n$

2. 若实数 $ a ＞ b $，则 $ a^{2} - ab $$＞$$ ab - b^{2} $.(填“＞”或“＜”)

答案： 2.$＞$

3. 已知 $ a_{1} ＞ 1 $，$ a_{2} ＞ 1 $，设 $ P = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} $，$ Q = \frac{1}{a_{1}a_{2}} + 1 $，试比较 $ P $ 与 $ Q $ 的大小.

答案： 3.解：$P - Q = (\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}}) - (\frac{1}{a_{1}a_{2}} + 1) =$
$\frac{a_{2} + a_{1}}{a_{1}a_{2}} - \frac{1 + a_{1}a_{2}}{a_{1}a_{2}} = \frac{a_{1} - 1 + a_{2}(1 - a_{1})}{a_{1}a_{2}} =$
$\frac{(a_{1} - 1)(1 - a_{2})}{a_{1}a_{2}}$
因为$a_{1} ＞ 1,a_{2} ＞ 1$，所以$a_{1} - 1 ＞ 0,1 - a_{2} ＜ 0,a_{1}a_{2} ＞ 0$，
所以$P - Q = \frac{(a_{1} - 1)(1 - a_{2})}{a_{1}a_{2}} ＜ 0$，所以$P ＜ Q$.

1. 已知关于 $ x $ 的不等式 $ ax^{2} - 2x + 3a ＜ 0 $ 在 $ (0, 2] $ 上有解，则实数 $ a $ 的取值范围是(A)

A.$ ( - \infty, \frac{\sqrt{3}}{3}) $
B.$ ( - \infty, \frac{4}{7}) $
C.$ (\frac{\sqrt{3}}{3}, + \infty) $
D.$ (\frac{4}{7}, + \infty) $

答案： 1.A

2. 若关于 $ x $ 的不等式 $ ax^{2} - x + a ＞ 0 $ 对一切实数 $ x $ 都成立，则实数 $ a $ 的取值范围为(C)

A.$ a ＜ - \frac{1}{2} $ 或 $ a ＞ \frac{1}{2} $
B.$ a ＞ \frac{1}{2} $ 或 $ a ＜ 0 $
C.$ a ＞ \frac{1}{2} $
D.$ - \frac{1}{2} ＜ a ＜ \frac{1}{2} $

答案： 2.C 解析：显然当$a = 0$时不等式不恒成立.当$a \neq 0$时，由不等式$ax^{2} - x + a ＞ 0$对一切实数$x$都成立，
得$\begin{cases} a ＞ 0 \\ \Delta ＜ 0 \end{cases}$，即$\begin{cases} a ＞ 0 \\ 1 - 4a^{2} ＜ 0 \end{cases}$，
解得$a ＞ \frac{1}{2}$，
所以实数$a$的取值范围是$a ＞ \frac{1}{2}$.