《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例 2】(1)当弓箭手以 a m/s 的速度从地面垂直向上射箭时，t s 后的高度 h m 可由 h = at - 5t²确定.已知射出 2 s 后箭离地面高 100 m，则弓箭能达到的最大高度为180 m.

答案：
(1)180 m
 

(2)某租车公司拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3 000 元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加 60 元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费 160 元，未租出的车每月需要维护费 40 元.
①当每辆车的月租金定为 3 900 元时，能租出多少辆车？
②当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？

答案：
(2)解：①租金增加了 900 元，900 ÷ 60 = 15，所以未租出的车有 15 辆，一共能租出 85 辆.
②当每辆车的月租金为 4 560 元时，租车公司的月收益最大，最大月收益是 324 560 元.

2.如图所示，已知边长为 8 m 的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 AE = 4 m，CD = 6 m.为合理利用这块钢板，在五边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM，使点 P 在边 DE 上.
(1)设 MP = x m，PN = y m，将 y 表示成 x 的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形 BNPM 面积的最大值.

答案： 解：$(1)y = -\frac{1}{2}x + 10，$定义域为{x | 4 ≤ x ≤ 8}.
(2)矩形 BNPM 的面积的最大值为 48 m².

【例 3】在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率 R(单位：cm³/s)与管道半径 r(单位：cm)的四次方成正比.比例系数为 k(k ＞ 0).
(1)试写出气体流量速率 R 关于管道半径 r 的函数解析式；
(2)若气体在半径为 3 cm 的管道中，流量速率为 400 cm³/s，求气体通过半径为 r 的管道时，其流量速率 R 的解析式.

答案： 解：
(1)由题意，可得 R = kr⁴(k ＞ 0).
(2)由 r = 3，R = 400，可得$ k = \frac{R}{r^4} = \frac{400}{81}，$则流量速率 R 的解析式为$ R = \frac{400}{81}r^4.$

3.制造印花机的成本 y(单位：元)与印花机的每分钟印花布的长度 x(单位：m)之间有函数关系 y = ax^b，b 称为经济尺度指数.已知制造印花机的经济尺度指数为 2，又知印花机的生产能力达到每分钟印花布 2 000 m 时需投入成本 4 000 000 元，要使生产能力达到每分钟印花布 2 500 m，需投入成本6 250 000元.

答案： 3.6 250 000