《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

二、函数的单调性与单调区间
【思考】
(1)若函数 $ y = f(x) $ 满足 $ f(2) ＞ f(3) $，则函数 $ f(x) $ 在区间 $[2, 3]$ 上是单调递减的吗？
(2)函数 $ y = \frac{1}{x} $ 在其定义域上是减函数吗？

答案：
(1)提示:不能确定.由特殊值的大小不能判定函数的单调性.
(2)提示:不是.y=$\frac{1}{x}$在区间(-∞,0)上单调递减，在区间(0,+∞)上也单调递减，但不能说y=$\frac{1}{x}$在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减.

【例1】(1)定义在区间 $[-5, 5]$ 上的函数 $ y = f(x) $ 的图象如图所示，则函数的单调递减区间是[−2,1]，[3,5]，在区间[−5,−2]，[1,3]上是增函数。

(2)求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数。
① $ f(x) = -\frac{1}{x} $； ② $ f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \geq 1 \\ 5 - x, & x ＜ 1 \end{cases} $； ③ $ f(x) = -x^2 + 2|x| + 3 $。
【思路探索】

答案：

(1)[−2,1]　[3,5]　[−5,−2]　[1,3]解析:观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[−5,−2],[−2,1],[1,3],[3,5].其中y=f(x)在区间[−5,−2],[1,3]上是增函数,在区间[−2,1],[3,5]上是减函数.
(2)解:①函数f(x)=−x1​的单调区间为(−∞,0),(0,+∞)，其在区间(−∞,0),(0,+∞)上都是增函数.②当x≥1时,f(x)是增函数,当x＜1时，f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为(−∞,1),[1,+∞)，并且函数f(x)在区间(−∞,1)上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数.③因为f(x)=−x²+2|x|+3={−x2+2x+3,x≥0,−x2−2x+3,x＜0.​作出函数的图象，如图所示.　　　　　 由图象可知,函数f(x)的单调区间为(−∞,−1],[0,1),(−1,0),[1,+∞).可知f(x)在区间(−∞,−1],[0,1)上是增函数,在区间(−1,0),[1,+∞)上是减函数.

①根据函数的图象直接写出单调区间

②根据反比例函数的单调性求解

③根据自变量的取值范国分段求出相应的

函数的单调区间

④作出函数的图象求其单调区间