《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

一、函数的增减性
情境Ⅰ：德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的。最初遗忘速度较快，以后逐渐减慢。他认为“保持和遗忘是时间的函数”，并根据实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线，如图所示。
情境Ⅱ：作出函数 $ f(x) = x $，$ f(x) = x^2 $，$ f(x) = \frac{1}{x} $ 的图象，如图所示。
从图象上不难看出函数 $ f(x) = x $ 的图象从左到右是上升的；函数 $ f(x) = x^2 $ 的图象在 $ y $ 轴左侧部分从左到右是下降的，而在 $ y $ 轴右侧部分从左到右是上升的；函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $ 的图象在 $ y $ 轴左侧部分从左到右是下降的，在 $ y $ 轴右侧部分从左到右也是下降的。

【思考】
(1)情境Ⅰ告诉我们学习中的遗忘规律是如何变化的？
(2)情境Ⅱ中 $ f(x) $ 随 $ x $ 的增大是如何变化的？
(3)什么是增(减)函数？增(减)函数定义中的 $ x_1, x_2 $ 有什么特征？
(4)若函数 $ f(x) $ 是其定义域上的增函数，且 $ f(a) ＞ f(b) $，则 $ a, b $ 满足什么关系？若函数 $ f(x) $ 是减函数呢？

答案：
(1)提示:这条曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐变慢了.这条曲线表明了遗忘规律是“先快后慢”
(2)提示:f(x)=x中f(x)随x的增大而增大;f(x)=x²中f(x)先随x的增大而减小,再随x的增大而增大;f(x)=$\frac{1}{x}$中f(x)在区间(-∞,0)上和区间(0,+∞)上都是随x的增大而减小.
(3)提示:一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D.如果∀x₁,x₂∈I,当x₁＜x₂时,都有f(x₁)＜f(x₂)(f(x₁)＞f(x₂)),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增(减).特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增函数(减函数).
定义中的x₁,x₂有以下3个特征:
①任意性,即x₁,x₂是任意选取的，证明时不能以特殊代替一般;
②有大小,通常规定x₁＜x₂;
③属于同一个单调区间.
(4)提示:若函数f(x)是其定义域上的增函数,则当f(a)＞f(b)时,a＞b;若函数f(x)是其定义域上的减函数,则当f(a)＞f(b)时,a＜b.