《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

9. 某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量 $ y $ 与净化时间 $ t $(单位：月)的近似函数关系：$ y = a^t (t \geq 0, a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $ 的图象如图所示。

有以下说法：
① 第 4 个月时，剩留量就会低于 $\frac{1}{5}$；
② 每月减少的有害物质的量都相等；
③ 当剩留量为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}$ 时，所经过的时间分别是 $ t_1, t_2, t_3 $，则 $ t_1 + t_2 = t_3 $。
其中所有正确说法的序号是①③。

答案： 9.①③

10. 有甲、乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同。甲中心 5 元每小时；乙中心按月计算，一个月中 30 h 以内（含 30 h）90 元，超过 30 h 的部分 2 元每小时。某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于 15 h，也不超过 40 h。
（1）设此人在甲健身中心活动 $ x $ h 的收费为 $ f(x) $，在乙健身中心活动 $ x $ h 的收费为 $ g(x) $，试求 $ f(x) $ 和 $ g(x) $。
（2）选择哪家健身中心比较合算？为什么？

答案： 10. 解：
(1) $f(x) = 5x$，$15 \leq x \leq 40$，
$g(x) = \begin{cases} 90, & 15 \leq x \leq 30, \\ 30 + 2x, & 30 ＜ x \leq 40. \end{cases}$
(2) 当 $5x = 90$ 时，$x = 18$，
即当 $15 \leq x ＜ 18$ 时，$f(x) ＜ g(x)$；
当 $x = 18$ 时，$f(x) = g(x)$；
当 $18 ＜ x \leq 40$ 时，$f(x) ＞ g(x)$。
所以当 $15 \leq x ＜ 18$ 时，选甲健身中心比较合算；当 $x = 18$ 时，两家健身中心一样合算；当 $18 ＜ x \leq 40$ 时，选乙健身中心比较合算。

11. 多选题 下列说法中正确的是 (AD)

A.当自变量 $ x $ 越来越大时，一次函数 $ y = kx (k ＞ 0) $ 的增长速度大于对数函数 $ y = \log_a x (a ＞ 1) $ 的增长速度
B.对任意 $ x ＞ 0, kx ＞ \log_a x (k ＞ 0, a ＞ 1) $
C.对任意 $ x ＞ 0, a^x ＞ \log_a x $
D.当 $ a ＞ 1, k ＞ 0 $ 时，一定存在 $ x_0 $，当 $ x ＞ x_0 $ 时，总有 $ a^x ＞ kx ＞ \log_a x $

答案： 11.AD

12. 多空题 生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图①②③④中请选择与容器相匹配的图象，A 对应④；B 对应①；C 对应③；D 对应②。

答案： 12.④ ① ③ ②

13. 多空题 某池塘中浮萍蔓延的面积 $ y $(单位：m²)与时间 $ t $(单位：月)的关系：$ y = a^t $ 的图象如图所示，则第 5 个月时浮萍蔓延的面积为32 m²，浮萍的面积从 4 m² 蔓延到 12 m² 要经过$\log_2 3$个月。

答案： 13.32 $\log_2 3$