《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

  一、全称量词命题的否定
观察下列命题，回答问题：
① 所有的正方形都是菱形；
② 每一个分数都是有理数；
③ ∀x∈R，x²−2x+1≥0。
【思考】
（1）这些命题是什么形式的命题？
（2）你能写出它们的否定吗？
（3）这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

答案： （1）提示：因为都含有全称量词，所以是全称量词命题.
（2）提示：命题①的否定：存在一个正方形不是菱形.
命题②的否定：存在一个分数不是有理数.
命题③的否定：∃x∈R,x²−2x+1＜0.
（3）提示：从命题形式上看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.

  二、存在量词命题的否定
观察下列命题，回答问题：
① ∃x∈R，x²+2x+2≤0；
② 有的三角形是等腰三角形；
③ 存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分。
【思考】
（1）这些命题是什么形式的命题？
（2）你能写出这些命题的否定吗？
（3）这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

答案： （1）提示：因为每个命题都含有存在量词，所以是存在量词命题.
（2）提示：命题①的否定：∀x∈R,x²+2x+2＞0.
命题②的否定：任何三角形都不是等腰三角形.
命题③的否定：对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分.
（3）提示：从命题形式上看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.

【例1】多选题 下列含有一个量词的命题的否定正确的是(AC)

A.“∀x∈R，x²≠x”的否定是“∃x∈R，x²=x”
B.“∀x∈R，x²≠x”的否定是“∀x∉R，x²≠x”
C.“∃x∈R，x²+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，x²+x+1≥0”
D.“∃x∈R，x²+x+1＜0”的否定是“∀x∉R，x²+x+1≥0”

答案： 【例1】AC