《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

1. 如图，函数 $ y = x^{\frac{2}{3}} $ 的大致图象是 (D)


 

答案： 1.D

2. 幂函数 $ f(x) = x^{3m - 5} (m \in \mathbf{N}) $ 在区间 $ (0, +\infty) $ 上是减函数，且 $ f(-x) = f(x) $，则 $ m $ 可能等于 (B)

A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

答案： 2.B

3. 已知幂函数 $ f(x) = x^{\alpha} $，当 $ x ＞ 1 $ 时，恒有 $ f(x) ＜ x $，则 $ \alpha $ 的取值范围是 (B)

A.$ (0, 1) $
B.$ (-\infty, 1) $
C.$ (0, +\infty) $
D.$ (-\infty, 0) $

答案： 3.B

4. 下列幂函数中是奇函数且在区间 $ (0, +\infty) $ 上单调递增的是②④(填序号)。
① $ y = x^{2} $；② $ y = x $；③ $ y = x^{\frac{1}{2}} $；④ $ y = x^{3} $；⑤ $ y = x^{-1} $。

答案： 4.②④

5. 比较大小：$ 3^{-\frac{3}{4}} $＜$ (\frac{1}{2})^{\frac{3}{4}} $。(填“＞”“＜”或“=”)

答案： 5.＜

6. 已知幂函数 $ f(x) = x^{m^{2} + m + 1} (m \in \mathbf{N}^{*}) $ 的图象经过点 $ (2, 8) $。
（1）试确定 $ m $ 的值；
（2）求满足条件 $ f(2 - a) ＞ f(a - 1) $ 的实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 6.（1）$m = 1$.　（2）$a ＜ \frac{3}{2}$.

7. 如图所示，曲线 $ C_{1} $ 与 $ C_{2} $ 分别是函数 $ y = x^{m} $ 和 $ y = x^{n} $ 在第一象限内的图象，则下列结论正确的是 (A)

A.$ n ＜ m ＜ 0 $
B.$ m ＜ n ＜ 0 $
C.$ n ＞ m ＞ 0 $
D.$ m ＞ n ＞ 0 $

答案： 7.A

8. 已知幂函数 $ y = f(x) = x^{-2m^{2} - m + 3} (-2 ＜ m ＜ 2 $，且 $ m \in \mathbf{Z}) $ 满足：
① 在区间 $ (0, +\infty) $ 上是增函数；
② 对任意的 $ x \in \mathbf{R} $，都有 $ f(-x) + f(x) = 0 $。
求同时满足①②的幂函数 $ f(x) $ 的解析式，并求当 $ x \in [0, 3] $ 时 $ f(x) $ 的值域。

答案： 8.因为$-2 ＜ m ＜ 2$,且$m \in \mathbf{Z}$,
所以$m = -1$或$0$或$1$.
因为对任意$x \in \mathbf{R}$,都有$f(-x) + f(x) = 0$,即$f(-x) = -f(x)$,
所以$f(x)$是奇函数.
当$m = -1$时,$f(x) = x^{2}$只满足条件①而不满足条件②;
当$m = 1$时,$f(x) = x^{0}$,条件①②都不满足.
当$m = 0$时,$f(x) = x^{3}$,条件①②都满足，且在区间$[0,3]$上是增函数,所以当$x \in [0,3]$时,函数$f(x)$的值域为$[0,27]$.

9. 多选题 已知函数 $ y = (m - 1)x^{m^{2} - m} $ 为幂函数，则该函数为 (BC)

A.奇函数
B.偶函数
C.区间 $ (0, +\infty) $ 上的增函数
D.区间 $ (0, +\infty) $ 上的减函数

答案： 9.BC

10. 多空题 已知幂函数 $ f(x) = x^{\alpha} $ 的部分对应值如下表：

则 $ f(x) = $$x^{\frac{1}{2}}$；不等式 $ f(|x|) \leq 2 $ 的解集是$\{x|-4 \leqslant x \leqslant 4\}$。

答案： 10.$x^{\frac{1}{2}}$ $\{x|-4 \leqslant x \leqslant 4\}$