《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

同角三角函数的基本关系
情境Ⅰ：计算下列式子的值。
（1）$\sin^{2}30^{\circ}+\cos^{2}30^{\circ}$；
（2）$\sin^{2}45^{\circ}+\cos^{2}45^{\circ}$；
（3）$\sin^{2}90^{\circ}+\cos^{2}90^{\circ}$。
情境Ⅱ：设角$\alpha$的终边与单位圆的交点为$P(x,y)$，则由三角函数的定义，得$\sin\alpha = y$，$\cos\alpha = x$，$\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)$。
【思考】
（1）求解情境Ⅰ中3个式子的值，你能得出什么猜想？
（2）观察情境Ⅱ中的定义，$\tan\alpha$与$\sin\alpha$和$\cos\alpha$间具有怎样的等量关系？
（3）同角三角函数的两个基本关系成立的条件各是什么？
（4）当角$\alpha$的终边与坐标轴重合时，$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$也成立吗？

答案： 【思考】
(1)提示：3个式子的值均为1.由此可猜想：
对于任意角$\alpha$，都有$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$.
(2)提示：因为$\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)$，所以$\tan\alpha=$
$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(\alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbf{Z})$.
(3)提示：对于平方关系只需同角即可；对
于商的关系，第一保证是同角，第二保证
$\alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in\mathbf{Z})$.
(4)提示：成立，在使三角函数有意义的前
提下，对任意$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$都成立.

【例1】（1）若$\sin\alpha=-\frac{5}{13}$，且$\alpha$为第四象限角，求$\tan\alpha$的值。

答案： （1）因为$\sin\alpha=-\frac{5}{13}$，且$\alpha$为第四象限角，
所以$\cos\alpha=\frac{12}{13}$，所以$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{5}{12}$.

 （2）已知$\tan\alpha=\frac{4}{3}$，且$\alpha$是第三象限角，求$\sin\alpha$，$\cos\alpha$的值。

答案： （2）由$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{4}{3}$，得$\sin\alpha=\frac{4}{3}\cos\alpha$.
因为$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$，
所以$\frac{16}{9}\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$，所以$\cos^{2}\alpha=\frac{9}{25}$.
又因为$\alpha$是第三象限角，
所以$\cos\alpha=-\frac{3}{5}$，$\sin\alpha=\frac{4}{3}\cos\alpha=-\frac{4}{5}$.