《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

1. 若$a ＜ 0$，$b ＜ -1$，则下列不等式成立的是(D)

A.$a ＞ \frac{a}{b} ＞ \frac{a}{b^2}$
B.$\frac{a}{b^2} ＞ \frac{a}{b} ＞ a$
C.$\frac{a}{b} ＞ a ＞ \frac{a}{b^2}$
D.$\frac{a}{b} ＞ \frac{a}{b^2} ＞ a$

答案： 1.D

2. 已知$a ＜ b ＜ 0$，下列不等式中成立的是(A)

A.$a ＜ 4 - b$
B.$\frac{a}{b} ＜ 1$
C.$a^2 ＜ b^2$
D.$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$

答案： 2.A

3. 若$a ＞ b ＞ c$，且$a + b + c = 0$，则下列不等式中成立的是(A)

A.$ab ＞ ac$
B.$ac ＞ bc$
C.$a|b| ＞ c|b|$
D.$a^2 ＞ b^2 ＞ c^2$

答案： 3.A

4. 若$-1 \leq a \leq 3$，$1 \leq b \leq 2$，则$a - b$的范围为-3≤ a-b≤ 2。

答案： 4.$-3\leq a-b\leq 2$

5. 已知$-1 ＜ a ＜ b ＜ 0$，求证：$\frac{1}{b} ＜ \frac{1}{a} ＜ b^2 ＜ a^2$。

答案： 5.证明：因为$-1＜a＜b＜0$，所以$ab＞0$，所以$\frac{a}{ab}＜\frac{b}{ab}＜0$，即$\frac{1}{b}＜\frac{1}{a}＜0$。由题意，知$1＞a^2＞b^2＞0$，所以$\frac{1}{b}＜\frac{1}{a}＜0＜b^2＜a^2＜1$，即$\frac{1}{b}＜\frac{1}{a}＜b^2＜a^2$。

6. 若$a$，$b$，$c \in \mathbf{R}$，$a ＞ b$，则下列不等式成立的是(C)

A.$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$
B.$a^2 ＞ b^2$
C.$\frac{a}{c^2 + 1} ＞ \frac{b}{c^2 + 1}$
D.$a|c| ＞ b|c|$

答案： 6.C

7. 把下列各题中的“$=$”全部改成“$＜$”，结论仍然成立的是④。(填序号)
①如果$a = b$，$c = d$，那么$a - c = b - d$；
②如果$a = b$，$c = d$，那么$ac = bd$；
③如果$a = b$，$c = d$，且$cd \neq 0$，那么$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$；
④如果$a = b$，且$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，那么$a^3 = b^3$。

答案： 7.④

8. 已知$a$，$b$，$x$，$y$都是正数，且$\frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$，$x ＞ y$，求证：$\frac{x}{x + a} ＞ \frac{y}{y + b}$。

答案： 8.证明：因为$a$，$b$，$x$，$y$都是正数，且$\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$，$x＞y$，所以$\frac{x}{a}＞\frac{y}{b}＞0$，所以$0＜\frac{a}{x}＜\frac{b}{y}$，所以$1＜\frac{a}{x}+1＜\frac{b}{y}+1$，即$1＜\frac{x+a}{x}＜\frac{y+b}{y}$，所以$\frac{x}{x+a}＞\frac{y}{y+b}$。

9. 多选题若$x ＞ y$，$a ＞ b$，则恒成立的不等式是(BD)

A.$a - x ＞ b - y$
B.$a + x ＞ b + y$
C.$ax ＞ by$
D.$x - 2b ＞ y - 2a$

答案： 9.BD