《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例3】
已知集合 $ A = \{ x \in \mathbf{R} | ax^2 - 3x + 2 = 0, a \in \mathbf{R} \} $.
(1) 若集合 $ A $ 中没有元素,求 $ a $ 的取值范围；
(2) 若集合 $ A $ 中只有一个元素,求 $ a $ 的值,并把这个元素写出来.

答案： 【解题模型示范】
已知集合 $ A $, 集合 $ A $ 中的元素是方程的根.
(1) 集合 $ A $ 中没有元素.
(2) 集合 $ A $ 中只有一个元素.
集合 $ A $ 中没有元素说明方程没有实数根；集合 $ A $ 中只有一个元素说明方程只有一个实数根或有两个相等的实数根.
(1) 要使集合 $ A $ 中没有元素,方程应无实数根,故满足 $ \begin{cases} a \neq 0, \\ (-3)^2 - 4a × 2 ＜ 0 \end{cases} $,解得 $ a ＞ \frac{9}{8} $.
(2) 当 $ a = 0 $ 时,原方程为一次方程,只有一个解 $ x = \frac{2}{3} $；
当 $ a \neq 0 $ 时,原方程为关于 $ x $ 的一元二次方程,使集合 $ A $ 只有一个元素的条件是 $ \Delta = 0 $,解得 $ a = \frac{9}{8} $,此时 $ x = \frac{4}{3} $.
所以当 $ a = 0 $ 时, $ A = \left\{ \frac{2}{3} \right\} $；当 $ a = \frac{9}{8} $ 时, $ A = \left\{ \frac{4}{3} \right\} $.

5. 变式练 本例中集合 $ A $ 不变,已知集合 $ A $ 中有两个元素,其中一个元素是1,求 $ a $ 的值,并求出集合 $ A $.

答案： 5.解：a=1,A={1,2}.

6. 同类练 已知集合 $ \{ x | ax^2 + x = 0 \} $ 有两个元素,求 $ a $ 的取值范围,并把这两个元素写出来.

答案： 6.解：{a∣a≠0}.两个元素分别为0和$-\frac{1}{a}$

7. 拔高练 已知集合 $ A = \{ x | x^2 + (a - 1)x + b = 0 \}, B = \{ x | x^2 - (3 - a)x - a + b - 2 = 0 \} $,若 $ A = \{ 2 \} $,求集合 $ B $.

答案： 7.解：B={1,5}.

1. 下列集合中表示同一集合的是 (B)

A.$ M = \{ (3, 2) \}, N = \{ (2, 3) \} $
B.$ M = \{ 4, 5 \}, N = \{ 5, 4 \} $
C.$ M = \{ (x, y) | x + y = 1 \}, N = \{ y | x + y = 1 \} $
D.$ M = \{ 1, 2 \}, N = \{ (1, 2) \} $

答案： 1.B

2. 方程 $ x^2 = 4 $ 的解所组成的集合用列举法表示为 (B)

A.$ \{ (-2, 2) \} $
B.$ \{ -2, 2 \} $
C.$ \{ -2 \} $
D.$ \{ 2 \} $

答案： 2.B

3. 若集合 $ A = \{ -1, 1, 2 \} $,集合 $ B = \{ x | x \in A $,且 $ 2 - x \notin A \} $,则集合 $ B = $ (C)

A.$ \{ -1 \} $
B.$ \{ 2 \} $
C.$ \{ -1, 2 \} $
D.$ \{ 1, 2 \} $

答案： 3.C