《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

2. 设$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x},0\lt x\lt1,\\2(x - 1),x\geqslant1,\end{cases}$若$f(a)=f(a + 1)$，则$f\left(\dfrac{1}{a}\right)=$(C)

A.$2$
B.$4$
C.$6$
D.$8$

答案： 2.C

3. 函数$y=\sqrt{7 + 6x - x^{2}}$的定义域是[-1,7]。

答案： 3.$[-1,7]$

4. 已知函数$f(x)=ax^{3}-2x$的图象过点$(-1,4)$，则$a=$-2。

答案： 4.$-2$

1. 函数$f(x)$在区间$(-\infty,+\infty)$上单调递减，且为奇函数。若$f(1)=-1$，则满足$-1\leqslant f(x - 2)\leqslant1$的$x$的取值范围是(D)

A.$[-2,2]$
B.$[-1,1]$
C.$[0,4]$
D.$[1,3]$

答案： 1.D

2. 已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，当$x\in(-\infty,0)$时，$f(x)=2x^{3}+x^{2}$，则$f(2)=$12。

答案： 2.12

3. 已知$a\in\mathbf{R}$，函数$f(x)=ax^{3}-x$，若存在$t\in\mathbf{R}$，使得$\vert f(t + 2)-f(t)\vert\leqslant\dfrac{2}{3}$，则实数$a$的最大值是$\frac{4}{3}$。

答案： 3.$\frac{4}{3}$

4. 已知函数$f(x)=ax+\dfrac{b}{x}+c$（$a$，$b$，$c$是常数）是奇函数，且满足$f(1)=\dfrac{5}{2}$，$f(2)=\dfrac{17}{4}$。
(1)求$a$，$b$，$c$的值；
(2)试判断函数$f(x)$在区间$\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$上的单调性，并证明。

答案： 4.解：
(1)因为$f(x)$是奇函数,所以$f(-x)=-f(x)$,所以$c = 0$.
因为$\begin{cases} f(1)=\frac{5}{2}, \\ f(2)=\frac{17}{4}, \end{cases}$所以$\begin{cases} a + b = \frac{5}{2}, \\ 2a + \frac{b}{2} = \frac{17}{4}, \end{cases}$
所以$\begin{cases} a = 2, \\ b = \frac{1}{2}. \end{cases}$
(2)由
(1)可得,$f(x)=2x + \frac{1}{2x}$.
$f(x)$在区间$(0,\frac{1}{2})$上单调递减,证明如下：
设$x_1,x_2 \in (0,\frac{1}{2})$,且$0 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ \frac{1}{2}$,
则$f(x_1) - f(x_2)=2(x_1 - x_2) + \frac{1}{2x_1} - \frac{1}{2x_2}$
$=2(x_1 - x_2) + \frac{x_2 - x_1}{2x_1x_2}$
$=\frac{(x_2 - x_1)(1 - 4x_1x_2)}{2x_1x_2}$.
因为$0 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ \frac{1}{2}$,
所以$x_2 - x_1 ＞ 0,0 ＜ x_1x_2 ＜ \frac{1}{4},1 - 4x_1x_2 ＞ 0$,
所以$f(x_1) - f(x_2) ＞ 0$,即$f(x_1) ＞ f(x_2)$.
所以$f(x)=2x + \frac{1}{2x}$在区间$(0,\frac{1}{2})$上单调递减.