《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

一、$n$次方根
情境Ⅰ：如果$x^{2}=a$，那么$x$叫做$a$的平方根。如果$x^{3}=a$，那么$x$叫做$a$的立方根。
情境Ⅱ：由$2^{3}=8$，$(-2)^{3}=-8$，$(\pm2)^{4}=16$，$2^{5}=32$，$(-2)^{5}=-32$，……可知正数的任何正整数指数幂是正数；负数的正偶数指数幂是正数，正奇数指数幂是负数。
【思考】
（1）若$x^{4}=a$，$x^{5}=a$，……则$x$分别叫做$a$的什么？若$x^{n}=a$，则$x$叫做$a$的什么？
（2）一个数的奇次方根有几个？一个正数的偶次方根有几个？$0$的偶次方根与奇次方根相等吗？一个负数有偶次方根，还是有奇次方根？
（3）在式子$\sqrt[4]{a}$与$\sqrt[5]{a}$中，$a$分别满足什么条件？
（4）当$n$是正偶数时，$\sqrt[n]{a}$一定是非负数吗？当$n$是正奇数（大于$1$）时，$\sqrt[n]{a}$一定是非负数吗？

答案： （1）提示：$x$分别叫做$a$的4次方根，5次方根，$\cdots$，$n$次方根.
（2）提示：一个数的奇次方根有1个.一个正数的偶次方根有2个.0的偶次方根与奇次方根相等.一个负数有奇次方根，无偶次方根.
（3）提示：$\sqrt[4]{a}$中$a \geq 0$，$\sqrt[5]{a}$中$a \in \mathbf{R}$.
（4）提示：当$n$是正偶数时，$\sqrt[n]{a}$一定是非负数；
当$n$是正奇数(大于1)时，$\sqrt[n]{a}$不一定是非负数.

  二、根式与根式的性质
【思考】
（1）根式的定义是什么？
（2）根式有哪些性质？
（3）$\sqrt[n]{a^{n}}=(\sqrt[n]{a})^{n}$是否一定成立？

答案： （1）提示：式子$\sqrt[n]{a}$叫做根式，这里$n$叫做根指数，$a$叫做被开方数.
（2）提示：当$n＞1$，且$n \in \mathbf{N}^*$时，
①$(\sqrt[n]{a})^n = a$；
②$\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} a, & n为奇数, \\|a|, & n为偶数. \end{cases}$
（3）提示：不一定.
当$a \geq 0$时，$\sqrt[n]{a^n} = (\sqrt[n]{a})^n$成立，
当$a ＜ 0$时，$\sqrt[n]{a}$可能没有意义.
因此$\sqrt[n]{a^n} = (\sqrt[n]{a})^n$不一定成立.