《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

3. 函数 $ f(x) = \ln x - \frac{3}{x} $ 的零点所在的区间是(C)

A.$ (1, 2) $
B.$ (1, e) $
C.$ (e, 3) $
D.$ (0, 1) $

答案： 3.C

4. 若 $ f(x) = \begin{cases} x^{2} - x - 1, x \geq 2 或 x \leq -1, \\ 1, -1 ＜ x ＜ 2, \end{cases} $ 则函数 $ g(x) = f(x) - x $ 的零点为1 和 1 + \sqrt{2}。

答案： 4.1 和 $1 + \sqrt{2}$

5. 若函数 $ f(x) = x^{2} - x + a $ 有两个零点，则 $ a $ 的取值范围是(-\infty, \frac{1}{4})。

答案： 5.$(-\infty, \frac{1}{4})$

6. 求函数 $ f(x) = x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2})^{x} $ 的零点的个数。

答案： 6.解:函数 $f(x) = x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2})^x$ 只有一个零点.

7. 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, x \geq 1, \\ x^{3}, x ＜ 1, \end{cases} $ 若关于 $ x $ 的方程 $ f(x) = k $ 有两个不同的零点，则 $ k $ 的取值范围是(A)

A.$ (0, 1) $
B.$ (1, 2) $
C.$ (2, 3) $
D.$ (3, 4) $

答案： 7.A

8. 函数 $ f(x) = |x - 2| - \ln x $ 的零点的个数为(C)

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： 8.C

9. 若函数 $ f(x) = \ln x + x - 4 $ 有零点的区间为 $ (k, k + 1) $，$ k \in \mathbf{Z} $，则 $ k = $2。

答案： 9.2

10. 已知 $ a \in \mathbf{R} $，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ f(x) = \log_{2}(\frac{1}{x} + a) $。
(1) 若函数 $ f(x) $ 的图象过点 $ (1, 1) $，求此时函数 $ f(x) $ 的解析式；
(2) 若函数 $ g(x) = f(x) + 2\log_{2}x $ 只有一个零点，求实数 $ a $ 的值。

答案： 10.解:
(1)$f(x) = \log_2(\frac{1}{x} + 1)$.
(2)$a = 0$ 或 $a = -\frac{1}{4}$.

11. 已知函数 $ f(x) = \frac{a - 2 + a \cdot 2^{x}}{1 + 2^{x}} $。
(1) 当 $ a = 1 $ 时，判断函数 $ f(x) $ 的奇偶性并证明；
(2) 讨论 $ f(x) $ 的零点个数。

答案： 11.解:
(1)当 $a = 1$ 时，函数 $f(x) = \frac{-1 + 2^x}{1 + 2^x}$，该函数为奇函数.
证明如下:
依题意,得函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，关于原点对称.
又因为 $f(-x) = \frac{-1 + 2^{-x}}{1 + 2^{-x}} = \frac{-2^x + 1}{2^x + 1} = -\frac{-1 + 2^x}{1 + 2^x} = -f(x)$，所以函数 $f(x)$ 为奇函数.
(2)对 $f(x)$ 进行化简，得 $f(x) = a - \frac{2}{1 + 2^x}$，所以 $f(x) = 0$ 等价于 $a = \frac{2}{1 + 2^x}$.
因为函数 $y = 2^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增且值域为 $(0, +\infty)$，所以 $y = \frac{2}{1 + 2^x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减且值域为 $(0,2)$，所以当 $a \leq 0$ 或 $a \geq 2$ 时，函数 $f(x)$ 无零点；当 $0 ＜ a ＜ 2$ 时，函数 $f(x)$ 只有一个零点.

12. 多选题 已知函数 $ f(x) $ 的图象是连续不断的曲线，有如下的 $ x $，$ f(x) $ 的对应值表：

则函数 $ f(x) $ 一定存在零点的区间有(AC)

A.$ (2, 3) $ 和 $ (3, 4) $
B.$ (3, 4) $ 和 $ (5, 6) $
C.$ (1, 2) $
D.$ (5, 6) $

答案： 12.AC

13. 多空题 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} -x^{2} - 2x, x \leq m, \\ x - 4, x ＞ m. \end{cases} $
(1) 当 $ m = 0 $ 时，函数 $ f(x) $ 的零点个数为3；
(2) 如果函数 $ f(x) $ 恰有两个零点，那么实数 $ m $ 的取值范围为[-2,0) ∪ [4, +∞)。

答案： 13.
(1)3　
(2)$[-2,0) \cup [4, +\infty)$

14. 多空题 函数 $ f(x) = \log_{2}x + 2^{x} - 4 $ 有1个零点，零点的大致区间为(1,2)。

答案： 14.1　(1,2)