《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

一、对数的概念与常用对数、自然对数
情境：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数N是$2^{x}$，即$N = 2^{x}$.
【思考】
（1）分裂多少次后，细胞的个数分别是8和16？
（2）如果已知细胞分裂后的个数N，那么能求出分裂次数x吗？
（3）根据对数的定义，对数的底数和真数的取值范围分别是什么，对数的取值范围是什么？

答案： （1）提示：分别分裂3次和4次.
(2)提示：能，$x = \log_2 N$.
(3)提示：对数的底数的取值范围是$(0,1) \cup (1, +\infty)$，真数的取值范围是$(0, +\infty)$，对数的取值范围是$\mathbb{R}$.

  二、对数与指数间的关系及对数的性质
【思考】
（1）对数与指数之间有什么关系？
（2）对数有哪些性质？
（3）化简：$a^{\log_{a}N}(a＞0$，且$a\neq1$，$N＞0)$.
（4）能将$(-2)^{3}=-8$化为对数式吗？

答案： （1）提示：当$a ＞ 0$，且$a \neq 1$时，$a^x = N \Leftrightarrow x = \log_a N$.
(2)提示：①负数和0没有对数；②$\log_a 1 = 0$；③$\log_a a = 1$.
(3)提示：$a^{\log_a N} = N (a ＞ 0$，且$a \neq 1, N ＞ 0)$.
(4)提示：不能.底数要求是不等于1的正数.