《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

充要条件
情境：给出下列“若 $ p $，则 $ q $”形式的命题：
①若两个三角形的两角和两角的夹边分别相等，则这两个三角形全等；
②若两条直线平行，则内错角相等；
③若 $ x ＞ 2 $，则 $ x ＞ 1 $；
④若 $ A \cap B = \varnothing $，则 $ A $ 与 $ B $ 均是 $ \varnothing $.
【思考】
（1）写出四个命题的逆命题.
（2）判断四个命题与逆命题的真假.
（3）若将命题①中的条件记为 $ p $，结论记为 $ q $，则 $ p $ 是 $ q $ 的什么条件？
（4）若 $ p $ 是 $ q $ 的充要条件，则 $ q $ 是 $ p $ 的充要条件吗？
（5）符号“$\Leftrightarrow$”的含义是什么？

答案： 【思考】
(1)提示：①逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和两角的夹边分别相等.
②逆命题：若内错角相等，则两条直线平行.
③逆命题：若$x＞1$，则$x＞2$.
④逆命题：若$A$与$B$均是$\varnothing$，则$A\cap B = \varnothing$.
(2)提示：命题①②和它们的逆命题都是真命题；
命题③是真命题，但它的逆命题为假命题；
命题④是假命题，但它的逆命题为真命题.
(3)提示：命题①和它的逆命题都是真命题，故$p$既是$q$的充分条件，也是$q$的必要条件.
(4)提示：是，$p$与$q$互为充要条件.
(5)提示：“$\Leftrightarrow$”表示“等价”的意思.

【例 1】多选题 下列命题正确的为 (CD)

A.“$ x ＞ 2 $，且 $ y ＞ 3 $”是“$ x + y ＞ 5 $”的充要条件
B.“$ b ^ { 2 } - 4 a c ＞ 0 $”是“关于 $ x $ 的方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $ 有两个不等实根”的充要条件
C.“$ x $ 为无理数”是“$ x ^ { 2 } $ 为无理数”的必要不充分条件
D.“$ a x ^ { 2 } ＞ b x ^ { 2 } $”是“$ a ＞ b $”的充分不必要条件

答案： 【例1】CD